数学（平面図形） 解説お願いします。

質問

長さ2Rの線分BCを直径とする半円周上の1点をAとし, 弦AB, ACの中点をそれぞれE, Fとします。
点Eで弦ABに接し、かつ弧ABに接する円の半径をαとし、
点Fで弦ACに接し、かつ弧ACに接する円の半径をβとします。
△ABCの内接円の半径を r として、次の等式を証明しなさい。

(1) 2(α+β)=R-r
(2) 8αβ=r^2

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1) 2(α+β)=R-r　について

∠BACは直角です。BCの中点(すなわち半円の中心:Oとします)とEを通る直線は
弦ABに垂直であり、弧ABとの交点をE'とすると、EE'の長さ=2αです。
この直線と弦ACは平行、弦ABと直線OFも同様に平行です。従って弦ACの長さは
OE'からEE'を引いた長さの2倍、すなわち2(R-2α)になります。
同様に弦ABの長さは2(R-2β)になります。
　一方、内接円の中心(O'とします)から△ABCの各辺に下ろした垂線の長さが
半径rであり、O'と点A、B、Cを結ぶ直線は∠BAC、∠ABC、∠ACBをそれぞれ二等分
します。従ってO'からの垂線と弦AB、弦AC及び直径BCとの交点をそれぞれP、Q、S
とすると、AP=AQ=r、弦ACの長さ-AQ=2(R-2α)-r=CQ=CSになり、
同様に弦ABの長さ-AP=2(R-2β)-r=BP=BSとなります。CS+BSが直径2Rですから
｛2(R-2α)-r｝+｛2(R-2β)-r｝=2R、すなわちR-r=2(α+β)となります。

(2) 8αβ=r^2　ついてに
△ABCは直角三角形ですから三平方の定理より弦AB二乗＋弦AC二乗＝直径の二乗
すなわち4*(R-2β)^2+4*(R-2α)^2=4R^2
この式のRに(1)の結果であるR=r+2(α+β)を代入して計算すると、8αβ=r^2
となります。

お礼

多忙の為、お礼が物凄く遅くなってしまいました。
ごめんなさい。

回答有難うございました。
非常に参考になりました。
お二人の回答の優劣の差は付け難かったので、回答投稿日時の早かった方をBAに選ばせて頂きました。
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回答No.2

ferien

長さ2Rの線分BCを直径とする半円周上の1点をAとし, 弦AB, ACの中点をそれぞれE, Fとします。
点Eで弦ABに接し、かつ弧ABに接する円の半径をαとし、
点Fで弦ACに接し、かつ弧ACに接する円の半径をβとします。
△ABCの内接円の半径を r として、次の等式を証明しなさい。

(1) 2(α+β)=R-r
(2) 8αβ=r^2

（１）
>長さ2Rの線分BCを直径とする半円周上の1点をAとし, 弦AB, ACの中点をそれぞれE, Fとします。

図の△ＡＢＣは角ＢＡＣ＝９０度の直角三角形です。
長さ2Rの線分BCを直径とする半円を描き、中心をＯとする。弦AB, ACの中点E, FをＯと結ぶ。
線分ＥＯは弦ＡＢの線分ＦＯは弦ＡＣの垂直二等分線になっているから、角ＡＥＯ＝角ＡＦＯ＝９０度。
よって、四角形ＡＥＯＦは長方形であるから、ＡＦ＝ＥＯ，ＡＥ＝ＦＯ……（１）

>点Eで弦ABに接し、かつ弧ABに接する円の半径をαとし、
>点Fで弦ACに接し、かつ弧ACに接する円の半径をβとします。

点Eの円の直径は２α、点Ｆの円の直径は２βだから、図より、２α＋ＥＯ＝Ｒ，２β＋ＦＯ＝Ｒ
（１）より、ＡＦ＝Ｒ－２α，ＡＥ＝Ｒ－２β　……（２）

>△ABCの内接円の半径を r

>△ABCの内接円を描き中心をＯ’とする。Ｏ’から、ＡＢ，ＡＣ，ＢＣに垂線をおろし交点をＧ，Ｈ，Ｉとする。内接円の性質から、ＢＧ＝ＢＩ，ＣＨ＝ＣＩ，ＡＧ＝ＡＨ＝ｒ

また、ＡＢ＝ＢＧ＋ｒ，ＡＣ＝ＣＨ＋ｒ、ＢＩ＋ＣＩ＝２Ｒ、ＡＥ＝1/2ＡＢ，ＡＦ=1/2ＡＣ　だから、
ＡＢ＋ＡＣ＝（ＢＧ＋ｒ）＋（ＣＨ＋ｒ）＝ＢＩ＋ＣＩ＋２ｒ＝２Ｒ＋２ｒ＝２（Ｒ＋ｒ）　より
ＡＥ＋ＡＦ＝1/2（ＡＢ＋ＡＣ）＝Ｒ＋ｒ　……（３）

（２）、（３）より、（Ｒ－２α）＋（Ｒ－２β）＝Ｒ＋ｒ　よって、2(α+β)=R-r

（２）
△ＡＢＣは直角三角形だから、三平方の定理より、ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝（２Ｒ）^2　だから、
（２ＡＥ）^2＋（２ＡＦ）^2＝（２Ｒ）^2　よって、ＡＥ^2＋ＡＦ^2＝Ｒ^2　……（４）

ＡＥ・ＡＦ＝（Ｒ－２α）・（Ｒ－２β）
　　　　　＝Ｒ^2－２Ｒ（α＋β）＋４αβ　（１）の結果を代入して
　　　　　＝Ｒ^2－Ｒ（Ｒ－ｒ）＋４αβ
　　　　　＝Ｒｒ＋４αβ　……（５）

（３）より、（ＡＥ＋ＡＦ）^2＝（Ｒ＋ｒ）^2＝Ｒ^2＋２Ｒｒ＋ｒ^2　……（６）

（４）（５）（６）を以下の式に代入する。
、（ＡＥ＋ＡＦ）^2＝ＡＥ^2＋ＡＦ^2＋２ＡＥ・ＡＦ

Ｒ^2＋２Ｒｒ＋ｒ^2＝Ｒ^2＋２（Ｒｒ＋４αβ）　よって、　8αβ=r^2

お礼

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