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数学の補習でわからないところがありましたので、質問させていただきます。

問題:分母を810、分子を1から809までの整数とする分数の集合{810分の1、810分の2、…、810分
    の809}を作る。この集合の要素の中で約分ができないものの個数を求めよ。

答えは、216なんですが、なぜこの答えになるのかが知りたいです。

回答よろしくお願いします。
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  • Aみんなの回答(全2件)

    質問者が選んだベストアンサー

    • 2013-08-18 19:14:45
    • 回答No.1
    810を素因数分解すると2*3^4*5
    従って問題で与えられる分数が約分できるためには分子が2の倍数または
    3の倍数または5の倍数であればよい。
    2の倍数の集合をA、3の倍数の集合をB、5の倍数の集合をCとすると
    n(A∪B∪C)を求めて全体集合から引けばよい。
    n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
    となるため、計算すると
    n(A∪B∪C)=583 となり 解答にたどり着きます。

    n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
    になることはベン図を描いて確認しましょう。
    お礼コメント
    回答ありがとうございます。
    すっごくわかりやすかったです‼

    教えてもらって言うのもなんですが、n(A⋂B⋂C⋂)=594だと思います(。› ‹)
    投稿日時 - 2013-08-18 21:26:32
    • ありがとう数0
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    その他の回答 (全1件)

    • 2013-08-18 19:31:17
    • 回答No.2
    810の素因数を求めます。  2*3*3*3*3*5 2で割れる個数は、405個あります。810÷2 405個のうちで3で割れるのは、135個あります。810÷3、残りは270個 270個のうち5で割れるのは、54個あります。270÷5、残りは216個 1~20で数えてみましょう。x/20 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 20の素因数 ...続きを読む
    810の素因数を求めます。
     2*3*3*3*3*5
    2で割れる個数は、405個あります。810÷2
    405個のうちで3で割れるのは、135個あります。810÷3、残りは270個
    270個のうち5で割れるのは、54個あります。270÷5、残りは216個

    1~20で数えてみましょう。x/20
    1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
    20の素因数は 2*2*5です。2で割れる数は1/2(2個おきにあるはず)
    1,3,5,7,9,11,13,15,17,19  残りは10個 20/2
    この中に5で割れる数は、1/5個あるはずです。10/5 = 2個
    1,3,7,9,11,13,17,19
    よって、20-10-2 = 8

    素数は高いに独立してますから・・


      
      
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