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質問No.8225247
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高1の数Aの問題です。
数学の補習でわからないところがありましたので、質問させていただきます。

問題:分母を810、分子を1から809までの整数とする分数の集合{810分の1、810分の2、…、810分
    の809}を作る。この集合の要素の中で約分ができないものの個数を求めよ。

答えは、216なんですが、なぜこの答えになるのかが知りたいです。

回答よろしくお願いします。
投稿日時 - 2013-08-18 18:55:28

質問者が選んだベストアンサー

回答No.1
810を素因数分解すると2*3^4*5
従って問題で与えられる分数が約分できるためには分子が2の倍数または
3の倍数または5の倍数であればよい。
2の倍数の集合をA、3の倍数の集合をB、5の倍数の集合をCとすると
n(A∪B∪C)を求めて全体集合から引けばよい。
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
となるため、計算すると
n(A∪B∪C)=583 となり 解答にたどり着きます。

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
になることはベン図を描いて確認しましょう。
投稿日時 - 2013-08-18 19:14:45
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お礼
回答ありがとうございます。
すっごくわかりやすかったです‼

教えてもらって言うのもなんですが、n(A⋂B⋂C⋂)=594だと思います(。› ‹)
投稿日時 - 2013-08-18 21:26:32

ベストアンサー以外の回答 (1)

回答No.2
810の素因数を求めます。
 2*3*3*3*3*5
2で割れる個数は、405個あります。810÷2
405個のうちで3で割れるのは、135個あります。810÷3、残りは270個
270個のうち5で割れるのは、54個あります。270÷5、残りは216個

1~20で数えてみましょう。x/20
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
20の素因数は 2*2*5です。2で割れる数は1/2(2個おきにあるはず)
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19  残りは10個 20/2
この中に5で割れる数は、1/5個あるはずです。10/5 = 2個
1,3,7,9,11,13,17,19
よって、20-10-2 = 8

素数は高いに独立してますから・・


  
  
投稿日時 - 2013-08-18 19:31:17
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