集合と要素の個数について

質問

こんにちは。集合と要素の個数について勉強をしているのですが、次の問題が分かりません。
分母が４４１で分子が４４１以下の自然数である分数の中に、約分できる分数は何個あるか。という問題です。どのような手順で解くべきか教えてください。

回答No.4

yanasawa · ベストアンサー

No.1さん、No.2さんは残念ながら違います。
　約分できるということは、必ずしも分子が１にならなくてもいいのです。
（例　８／１２＝２／３と約分できる）

　分母の４４１を素因数分解すると、先ほどの方々のようになります。約分ができればいいので、分子が３少なくても１つ、または７少なくても１つで割り切れればよろしいのです。つまり、分子が３の倍数、または７の倍数。
１から４４１の中に、３の倍数は４４１÷３＝１４７、７の倍数は４４１÷７＝６３。この合計では２１の倍数を２回数えたことになるので４４１÷２１＝２１を引いて、
１４７＋６３－２１＝１８９個です。

おっと、答まで出してしまった。でも考え方を理解してくださいね。

回答No.5

R-gray

す、すみません、お恥ずかしい・・・No4さんの言うとおりですね。。。

回答No.3

yamasan767

回答はもう出ているので、回答への突破口の探し方をかいてみます。

こういう問題は、「４４１を素因数分解できるか」、いいかえると、４４１を他の数の掛け算の形にできるか、という言い換えができます。もっと簡単にいうと、４４１はどんな数字でわりきれるか、ということです。

・下一桁が５なら５で割り切れます（例　7575745は下一桁が５だから５で割り切れる。）
・下一桁が偶数なら２で割り切れます。（例　43848902は下一桁が２なので、２で割り切れる）
・それぞれの桁の数字を足して、それが３の倍数なら、もとの数字も３で割り切れます。（例　４４１は、４＋４＋１＝９　９は３の倍数なので、もとの４４１も３で割り切れます）
・以上でだめなら、７で割ってみます

これらの方法で、みたこともない数字をみても、それがどんな数字で割り切れるか、つまり素因数分解のヒントをつかめます。

回答No.2

R-gray

分子が441の約数（ただし１は除きます）なら約分できますよね。
あとはNo.1さんの通りです。
（441の約数が3^x * 7^y で表されることに留意しましょう。xは0,1,2、yも0,1,2の三通りずつあります。）
そして分子が１の時をを除いて８個かと。

回答No.1

noname#20377

441 = 3^2 * 7^2

したがって約数の個数は

(2+1)*(2+1)=9

よって9個