区分求積のささいな疑問

質問

高3です
過去問をやっていたら(1)式が出てきました
実際正しいのでしょうが
自分には1/2という数字が無視できる数とは思えません
どうか納得のいく説明をいただけないでしょうか

また(1)式同様、(2)式も成り立つのでしょうか

回答No.3

entap

lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) ((k+1/2)/n)^(99)

ですよね。
区分求積法の原理から、
lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) (f(k/n)) = ∫ f(x) dx (from 0 to 1) が言えます。

では今回のf(x)は何かというと
((k+1/2)/n)^(99) ですが、1/2nがたしかに邪魔です。
ですが、では、Σを使わずに列挙してみましょう。

lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
これは、
lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
と同じ値を取ります。(lim[n→∞] 1/2n = 0ですから。)

よって、
lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) ((k+1/2)/n)^(99)
= lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
= lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
= lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) (k/n)^(99)
= ∫x^99 dx (from 0 to 1)
= 1　となります。

同様に、(2)も、定数が可算数である限り成り立ちます。
lim[n→∞] m/n = 0ですから。

以上の説明でどうでしょうか。

お礼

>lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
これは、
lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
と同じ値を取ります。(lim[n→∞] 1/2n = 0ですから。)

ここが自分にとっての最大の難所のようです
極限値計算の過程で別個にn→∞をしてもよいものか考えているのです

ありがとうございます