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区分求積のささいな疑問
noname#199771の回答
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(1) 端的に言いますと (1/n){((k+(1/2))/n)^99-(k/n)^99} → 0 (n→∞) だからです。 (1/n)(k/n)^99の極限と(1/n)((k+(1/2))/n)^99との極限が等しくなるので (1/n)(k/n)^99 → ∫[x=0→1]x^99dx (n→∞)より (1/n)((k+(1/2))/n)^99 → ∫[x=0→1]x^99dx (n→∞)となります。 (2) 以下の説明は高校の範囲を超えているので参考程度に留めてください。 a>0を一つ固定します。 閉区間[-a,1+a]でfが連続とします。 [0,1]ではなく[-a,1+a]を考えるのは、m≠0のとき(k+m)/nが[0.1]を はみ出てしまうから。 任意のε>0を固定します。 あるδ>0が存在して、 -a≦x,y≦1+aかつ|x-y|<δなる任意のx,yに対して|f(x)-f(y)|<1 ・・・★ が成り立ちます。 δがxやyと無関係に選べることが重要です(一様連続性)。 ここでmax{|m|/a,|m|/δ,1/ε}<Nなる自然数Nを一つとります。 n≧Nなる任意の自然数nに対して、 |(k/n)-{(k+m)/n}|=|m|/n≦|m|/N<δなので、★より |(1/n)f(k/n)-(1/n)f((k+m)/n)| =(1/n)|f(k/n)-f((k+m)/n)| <1/n ≦1/N <ε となります。 これは (1/n)f(k/n)の極限と(1/n)f((k+m)/n)の極限とがもし存在すれば 互いに等しいことを意味します。 (1/n)f(k/n) → ∫[x=0→1]f(x)dx (n→∞)なので (1/n)f((k+m)/n) → ∫[x=0→1]f(x)dx (n→∞)となります。
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