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モンティホール問題について
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- shingo5k
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Ｎ０５です 追加します（結論は変わりません） 実はこの問題が解かり難い原因は、規定が曖昧である事です。 曖昧な点は、「モンティが必ず外れのドアを開く」事がルールであり、 「そのルールをプレーヤーに周知していた」否かです。 日本語 wikipedia の「ルール」の項ではそれがルールであり、その ルールをプレーヤーに周知していた事になっています。（2013.July.29） ところがこの問題を最初に指摘した Steve Selvinの 「Letters to the Editor」(1975)の規定では周知されていない事に なっています。（"Audience: applase"からそう判断できる） つまり、一言で「モンティホール問題」と言ってもその規定は一様で はありません。まずは、質問者の規定する「モンティホール問題」が 何を指すのかを厳密に定義する必要があります。 それによって確率が変るからです。 もし質問者のモンティホール問題の規定が、日本語 wikipedia の 「ルール」の項の規定に従うなら、選択を変更すべきです。 そうではなくて「Letters to the Editor」の規定に従うなら、 変更してもしなくても賞品を獲得する確率は変わりません。
- shingo5k
- ベストアンサー率33% (123/366)
まずモンティホール問題とは何かを定義する必要があります。 もはやＴＶ番組が実際にどうだったかの話ではありません。 まず「モンティホール問題」自体をきちんと定義することが必要です。 例えばwikipedea 日本語版（2013-Jun-28）では次のように規定しています。 １． 「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の 新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。 ２、 プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。 ３、 プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアの内 ヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。 ４、 ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられてい ないドアに変更しても良いと言われる。 ５ プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？」 これがこのゲームのルールの全てだと定義します。 これだけの文章からは、モンティが必ず外れのドアを開くということがプレ ーヤーに周知されていたとの解釈には無理があります。 プレーヤーの身になって考えると、確かに今回は外れのドアを開いたが、 モンティが正解のドアを開いて「残念でした」と言う可能性が排除出来ません。 またモンティが２つとも外れの場合に限りドアを開き、どちらかに正解がある 場合はドアを開かない事が起きる可能性も否定できません。 したがって、この文章からは、プレーヤはモンティの行動ルールは知らないが、 モンティが開いたドアが外れだと知ったと言う事だけです。 この場合は最初の選択のままでも、変更しても当てる確率は 1/2 です。 これは多数回行うとその回数の 1/2 倍に近い回数で賞品を当てると いう意味です。 ************************************************************ もちろん、モンティが必ず外れのドアを開くということがプレーヤーに周知されて いたと（無理に）解釈すれば、扉を変更すると 2/3 に なります。
- rakichabo
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１． 1/2という確率は何を表しているのか 「司会者がはずれの扉を1つ開ければ残りは2つ。ゆえに参加者が 選んだ扉の当たり確率は1/2と推定される」 という事を表しているのだと思います。しかし実際にはそれほど 単純ではありません。 ２． なぜ当たり確率が1/2にならないのか 3つの扉をA,B,Cとし、参加者がAを選び司会者がCを開けた場合を 検討します。Aの当たり確率が1/2と推定する理由は 「Aの当たり確率＝Bの当たり確率」・・・(1) と考えているからですが、(1)が成立するのは 「Aが当たりの時Cを開ける確率＝Bが当たりの時Cを開ける確率」・・・(2) が成立する時です。言い換えればその扉が当たりの時に Cを開ける確率が等しくなければ、実際にCが開けられた時の 当たり確率も等しくないという事です。 さて参加者が選んだ扉が当たりの時司会者は2つのはずれの扉の 一方を無作為に選んで開けると考えられるので、 「Aが当たりの時Cを開ける確率は1/2」・・・(3) となります。一方Bが当たりならば司会者はCを開けるしかないので 「Bが当たりの時Cを開ける確率は1」・・・(4) となります。(3)と(4)により(2)は成立せず、(1)も不成立です。 ゆえにAの当たり確率は1/2ではありません。 ３． 当たり確率が1/2になる事はあるのか (2)を成立させる手段その1として、(3)を 「Aが当たりの時Cを開ける確率は1」に変えてみます。 しかしそうすると司会者がBを開けた場合は必ずCが当たりですから Aの当たり確率は0になってしまいます。 (2)を成立させる手段その2として、(4)を 「Bが当たりの時Cを開ける確率は1/2」に変えてみます。 しかしそうするとBが当たりの時司会者は1/2の確率でC以外すなわち AかBを開ける事になりゲームが成立しません。 もしもゲームを途中でキャンセルしてやり直す事が認められるならば 「参加者がはずれの扉を選んだ時は1/2の確率でもうひとつの はずれの扉を開け、1/2の確率でゲームをキャンセルしてやり直す」 というルールを追加する事により 「司会者がはずれの扉を1つ開けた後参加者が選んだ扉が当たりの 確率は1/2」 となります。蛇足ですがモンティホール問題のオリジナルはTV番組 なので、キャンセルした部分をカットした録画を放送すれば視聴者は 不自然さを感じる事なく「当たり確率が1/2」のゲームを見る事が できるでしょう。 以上
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
モンティホールでは挑戦者が常に扉を変更する場合、 1) 挑戦者が最初にあたりをひく⇒最後にはずれをひく 2) 挑戦者が最初にはずれをひく⇒最後にあたりをひく となります。 つまり、モンティホールの手順ははずれをあたりに、あたりをはずれに 変換する手順を提供しているだけなのです。 なので、挑戦者が最初にはずれを引けば勝ちが確定します。 とびらが3枚であたりが一本なら、最初にはずれる確率は 2/3 だから 勝率は 2/3 です。
- MagicianKuma
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司会者が当たりの場所を知っていて、外れの場所を開いて見せてくれた場合、選び直すと当たる確率が2/3になる。 司会者が当たりの場所を知らずに、開けて見せてくれたのがたまたま外れだった場合、選び直しても当たる確率は1/2。 ということです。
- alice_44
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2/3 になるから、1/2 ではない …で、説明になってる気がするのだけれど。
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