- ベストアンサー
ジョルダン標準形の問題
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- グラムシュミットとジョルダン標準形
ある行列を対角化するとき、固有値が重解の場合に、 固有ベクトルの求め方がこんがらがってしまいました。 グラムシュミットの正規直交化とジョルダン標準形の2つが出てくるのですが、 どのようなときにどちらを使うのか教えてください。 もしくはどちらも使うものなんでしょうか？ ジョルダン標準形を求めるときに、固有ベクトルを正規直交化すると うまくいかなかったりしたので… お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形の作り方
固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。 自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。 例題 A= [2 0 -1] [-2 3 2 ] [1 0 0] のジョルダン標準形を求めなさい。 解法 (1)固有多項式で固有値を求める。 固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2 λ=1(重解)、3 (2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。 「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、 つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、 λ=3の時、 rank(A-3E)=2 dim(A-3E)=3-2=1 λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。 λ=1について rank(A-E)=2 dim(A-E)=3-2=1 よってλ=1に対して、 ジョルダン細胞1つ。 (3)次にジョルダン細胞の次数を求める。 (A-3E)(A-E)≠0 (A-3E)(A-E)^2=0 より、最小多項式は (λ-3)(λ-1)^2なので、 λ=3のジョルダン細胞の次数は1 λ=1のジョルダン細胞の次数は2 よってJ=J(3,1)➕J(1,2) (➕は、＋の丸囲み) J= [3 0 0] [0 1 1] [0 0 1] 一応、答えは出ました。これで間違いないですか？ しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、 (A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。 これがけっこう面倒です。 そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形をつくりたいのですが・・・
次の３Ｘ３行列Ａのジョルダン標準形を求めたいのですが、固有空間を求める段階でわからなくなっています。 （－１ １ ０） Ａ＝（ ０ －１ ４） （ １ ０ －４） 固有値は０、－３となり、次元は両方１次元。 固有値０の固有空間は、ａを任意定数として ａ（ １ １ １/４） （←の行列は転置です） 固有値ー３の固有空間は、ｂを任意定数として ｂ（ １ －２ １） （←の行列も転置です） ここから先がよくわからない部分なのですが・・・ （ここまででも間違っているかもしれませんので、違って いたら教えてください） 固有ベクトルの具体例を３つ用意するために、固有値ー３に対して、 ｐ｛Ａ－（－３）Ｅ｝＝ｑ ...（★） （Ｅは単位行列、ｑはー３の固有ベクトル具体例） を満たすｐを求めると、そのｐが３つ目の固有ベクトルになる・・・ でいいのでしょうか？ 実際、ａ＝１、ｂ＝１として（★）を計算して、具体的な固有ベクトルとして、 （０ －１ １）を出しました。 （←の行列は転置） そして、これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列Ｂを考えたとき、 （Ｂの逆行列）*Ａ*Ｂ を計算してもジョルダン標準形になりませんでした。。 ジョルダン標準形はおそらく （－３ １ ０） （ ０ －３ ０） （ ０ ０ ０） ではないかと思うのですが、解法がよくわかりません。 誰かご存知の方に教えていただきたいのです。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形
次の行列Aをジョルダン標準形に変換せよ。 8 0 -1 -2 7 2 1 0 6 という問題なんですが、固有方程式を計算すると固有値は３重根で7でした。そこで固有値7に対する固有空間を求めると、多分計算が間違っていなければ x1=[1 0 1]^t , x2=[0 1 0]^t が一次独立なベクトルとして取れると思うんです。そして3本目が必要なので一般固有ベクトルを求めるために(A-7E)x3=x1としてx3(=[a b c]^tとする)を求めにいったんですが、これだと1本目の式と3本目の式はa-c=1で一致するんですが2本目の式は-2a+2c=0となりa,cが一意に決められません。これはさらに2本取れることを意味してるんでしょうか？仮にa=2,c=1として3本目のベクトルをx3=[2 0 1]^tとして進めていっても最終的なジョルダン標準形の形を計算したときに 7 0 1 0 7 0 0 0 7 とズレてしまいました。多分色々と間違いが重なった結果だと思うんですが、まだジョルダン標準形をしっかり理解できてないようなのでアドバイスよろしくお願いします！ ちなみに一次独立なベクトルを並べた行列をPとすると僕の場合Pは 1 0 2 0 1 0 1 0 1 となりますが解答のほうは 1 1 0 -2 0 1 1 0 0 でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
行列が、(3行×3列) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 のジョルダン標準形を求める計算なのですが、固有値を出したときに0のみになってしまい、初めに求める固有ベクトルがx＝0、Z＝0でｙに関しては何も出てきません。こういうときはyをaなどの定数としておいて一般固有ベクトルを計算していって良いのでしょうか？教えてくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
たとえば、５ｘ５行列Aがあって、固有値が一つ２であるとします。重複度は５です。(A-2E)X=0から固有ベクトルを求めて、二つ独立な固有ベクトルあるとします。そのとき、固有値に対してジョルダン標準形の二つのブロックが作られるというルールがあると思いますが、そのブロックの順番は何でもいいですか？ 質問は たとえば、ブロック 「２」 とブロック [2100 0210 0021 0002] の順番はどうやってわかりますか？ 別のブロックの組み合わせもありうると思いますが、順番だけについて教えてください。 よろしくおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形を求める。
1 ３ -1 Ａ ＝ ０ ２ １ -1 ２ ２ について、ジョルダン標準形にする変形行列とジョルダン標準形を求めよという問題です。 固有値は２、２、２。 ３ -1 Ｖ(２) ＝ ＜ １ 、０ ＞ ０ １ であることまではわかるのですがその後どうやってジョルダン標準形を求めるのかが分かりません。 すみませんが、どなたか解説をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ジョルダン標準形の求め方が？
僕の教科書は、三宅敏恒「線形代数学」なのですが、 ジョルダン標準形の求め方として、 （ｔE－A)の根から固有多項式を出し、それから最小多項式を求めています。 僕が思うには、ジョルダン標準形は、固有値を一般的に求めるためのものなので、 このやり方では、意味ないと思います。 実際には、どうやって、ジョルダン標準形を求めるのですか？ （行基本変形の繰り返しで、できるのでしょうか）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
ジョルダン標準形について （２００） （２２０）＝Ａという行列のｅ^tAを求める際に （３１２） まずは対角化するのですが その時に必要なＰの求め方で悩んでいます。 Ａの固有多項式は|tE-A|=（t-2）^3となると思うのですが この場合のやり方を忘れてしまいました(:_;) 答え（の１つ）は （００１） （０２０） （２３０）となります。 そしてジョルダン標準形は （２１０） （０２１） （００２）です。 この１の数は次元を求めて分かるものでしたっけ？ 長々と書いてしましましたが Ｐの求め方とジョルダン標準形の１の数について 教えてください。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
求められました。ありがとうございました。