ジョルダン標準形の求め方と固有ベクトルの具体例について
- この質問では、３×３行列Aのジョルダン標準形を求める方法について説明しています。
- 固有値と固有空間の求め方がわからず困っている状況を説明しています。
- 質問者は固有ベクトルの具体例を求めるために固有値-3に対する演算を行っており、その具体例として(0, -1, 1)を得たが、最終的に求めたジョルダン標準形にならず解法を知りたいと求めています。
- ベストアンサー
ジョルダン標準形をつくりたいのですが・・・
次の３Ｘ３行列Ａのジョルダン標準形を求めたいのですが、固有空間を求める段階でわからなくなっています。 （－１ １ ０） Ａ＝（ ０ －１ ４） （ １ ０ －４） 固有値は０、－３となり、次元は両方１次元。 固有値０の固有空間は、ａを任意定数として ａ（ １ １ １/４） （←の行列は転置です） 固有値ー３の固有空間は、ｂを任意定数として ｂ（ １ －２ １） （←の行列も転置です） ここから先がよくわからない部分なのですが・・・ （ここまででも間違っているかもしれませんので、違って いたら教えてください） 固有ベクトルの具体例を３つ用意するために、固有値ー３に対して、 ｐ｛Ａ－（－３）Ｅ｝＝ｑ ...（★） （Ｅは単位行列、ｑはー３の固有ベクトル具体例） を満たすｐを求めると、そのｐが３つ目の固有ベクトルになる・・・ でいいのでしょうか？ 実際、ａ＝１、ｂ＝１として（★）を計算して、具体的な固有ベクトルとして、 （０ －１ １）を出しました。 （←の行列は転置） そして、これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列Ｂを考えたとき、 （Ｂの逆行列）*Ａ*Ｂ を計算してもジョルダン標準形になりませんでした。。 ジョルダン標準形はおそらく （－３ １ ０） （ ０ －３ ０） （ ０ ０ ０） ではないかと思うのですが、解法がよくわかりません。 誰かご存知の方に教えていただきたいのです。 お願いします。
- marumarur
- お礼率100% (1/1)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
固有多項式はλ・(λ+3)^2であり λ=-3の固有ベクトルがu=［1,-2,1]^Tであり固有空間は1次元なので標準形Λは [-3,1,0] [0,-3,0] [0,0,0] である。 λ=0の固有ベクトルはw=[4,4,1]^Tである。 λ=-3の拡張固有ベクトルvは (A-λ・E)・v=u まとめて A・u=-3・u A・v=u+-3・v A・w=0 よって A・[u,v,w]=[u,v,w]・Λ
関連するQ&A
- ジョルダン標準形が求められません＞＜
以下の行列のジョルダン標準形が求められずに困っています。 A = (-1 0 0) (-3 -6 -5) ( 3 5 4) 固有値λはλ = ー1 のみでした。 それに対する固有ベクトルv = (x, y, z)(転置)が、 (A + λE)v = ( 0 0 0)(x) (0) (-3 -5 -5)(y) ＝(0) ( 3 5 5)(z) (0) より 3x + 5y + 5z = 0 を満たすことから (x, y, z) = (-5, 3, 0), (5, 0, -3) としました。 残る1本の一般固有ベクトルは、 ( 0 0 0)(x) (-5) ( 5) (-3 -5 -5)(y) = a( 3) + b( 0) ( 3 5 5)(z) ( 0) (-3) が解を持つように a, b を定めたときの解なので、 a = b = 1 とすると、 (x, y, z) = (-1, 0, 0) は条件を満たすのでこれを最後の一般固有ベクトルとしました。 これらをならべて、変換行列Sを S = (-5 5 -1) ( 3 0 0) ( 0 -3 0) としました。 しかし、 (S^-1)AS = (-1 0 1) ( 0 -1 1) ( 0 0 -1) となってしまいます。 どなたか、どこが間違っているのかご教授ください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ８×８行列ジョルダン標準形の問題
A= [0 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -3 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -3 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 -1 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 0 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -2 6 -1] [3 1 1 0 3 4 0 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 1] のジョルダンの標準形を求め ジョルダンの標準形に相似変換する行列をを求めよ 次の解答でいいですか? 書き方も含めて、間違いを指摘して下さい。 【解答】 固有多項式 det(A-λE)= =λ^8+8λ^7+28λ^6+56λ^5+70λ^4+56λ^3+28λ^2+8λ+1 =(λ+1)^8 (二項定理の係数になってたので因数分解できました) 固有値:λ=-1(8重根) 固有値-1に対して、B=A+Eと書く。 最初にrank(B)を求める。 B= [1 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -2 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -2 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 0 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 1 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -1 6 -1] [3 1 1 0 3 4 1 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 2] ⇩(ガウスの消去法) [1 0 0 0 1 0 0 0] [0 1 0 0 1 0 1 0] [0 0 1 0 -1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B)=4 ジョルダン細胞数の数は固有空間の次元に等しいので、 dim(Ker(B))=8-rank(B)=4個 次にジョルダン細胞の次数を求める。 (m+1)次以上のジョルダン細胞の数は、 rank(A-λE)^m-rank(A-λE)^(m+1) で与えられるから、 rank(B)-rank(B^2)の値が2以上のジョルダン細胞の数を与えるから、B^2を計算。 B^2= [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [1 0 1 0 0 1 0 1] [2 0 2 0 0 2 0 2] [1 0 1 0 0 1 0 1] [4 0 4 0 0 4 0 4] [0 0 0 0 0 0 0 0] [-4 0 -4 0 0 -4 0 -4] ⇩ [1 0 1 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B^2)=1 rank(B)-rank(B^2)=4-1=3 2次以上のジョルダン細胞数は3個。 8次の中にジョルダン細胞数が合計で4個、2次以上が3個なので、 ジョルダン細胞の直和は、1次+2次+2次+3次という形になる。 Aの相似形を「～」で書くと、ジョルダン標準形は、次数の低い方からの直和で(➕は、＋の丸囲みです) A～J(-1,1)➕J(-1,2)➕J(-1,2)➕J(-1,3) J= -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 次に固有ベクトルを求める。 求める固有ベクトルを p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8]^t (^tは、転置行列)と書く。 p=(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) (列ベクトルの記述です) として、固有ベクトルを求める Bp=0 [1 0 0 0 1 0 0 0]p=0 [0 1 0 0 1 0 1 0]p=0 [0 0 1 0 -1 0 0 0]p=0 [0 0 0 0 0 1 0 1]p=0 p1+p5=0 p2+p5+p7=0 p3-p5=0 p6+p8=0 p4=任意 t,s,u,vを媒介変数として p=t(-1,0,1,0,1,0,-1,0)+s(0,-1,0,0,0,0,1,0)+u(0,0,0,1,0,0,0,0)+v(0,0,0,0,0,1,0,-1) 独立した固有ベクトルは、 (-1,0,1,0,1,0,-1,0) (0,-1,0,0,0,0,1,0) (0,0,0,1,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,0,-1) の4つだが、 1次ジョルダン細胞に対するものを一番簡単な(0,0,0,1,0,0,0,0)にする。 それをx=[0 0 0 1 0 0 0 0]^t (転置)と書く。 By≠0、Bz≠0、Bu≠0、B^2u≠0の条件で y=[1 0 0 0 0 0 0 0]^t z=[0 1 0 0 0 0 0 0]^t u=[0 0 1 0 0 0 0 0]^t を設定すると、変換行列Pはジョル細胞の低い方をからの直和に合わせ P=[x By y Bz z B^2•u Bu u] P= 0 1 1 -1 0 -1 1 0 0 1 0 -2 1 -1 3 0 0 -2 0 1 0 1 -2 1 1 -1 0 4 0 2 4 0 0 -3 0 1 0 1 -3 0 0 -2 0 6 0 4 -5 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 -6 0 -4 6 0 P^(-1)= 0 0 0 1 34 28 16 37 0 0 0 0 4 4 2 5 1 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 -8 -9 -3 -11 0 1 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 9 12 3 14 0 0 0 0 -4 -3 -2 -4 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 P^(-1)AP=J になる。
- 締切済み
- 数学・算数
- 3×3行列ジョルダン標準正規
ジョルダン細胞の数と次数の考え方。 間違っていたら指摘して下さい。 3×3行列について (1)固有値が3つ異なる場合 α≠β≠γ それぞれの固有空間の階数(rank)は、2なので、それぞれの固有空間の次 元は1次元。 従って、ジョルダン細胞の次元は1次。1つの固有値に対するジョルダン細胞の数も1個。 J=J(α,1)+J(β,1)+J(γ,1) (2) 固有値が3重根の場合 (1)固有空間のrankが2の場合 固有空間の次元は、3-2=1次元。 固有ベクトルは、1つだけ。 よってジョルダン細胞は1個。 行列が3次なので、3次のジョルダン細胞が1個。 J=J(α,3) ここで、(A-αE)^2≠0、(A-αE)^3=0になるが、この計算は不要。 (2)固有空間のrankが1の場合 固有空間の次元は、3-1=2次元。 2次元上で独立な固有ベクトルは、2つ以上取れる。 ジョルダン細胞の数は2個。 3次元行列であるから、2個のジョルダン細胞は、2次1個と1次1個になる。 よって、J=J(α,1)+J(α,2) (3)固有値が2個が重根、1個単根の場合。 固有値=α(重根)、βとする。 (1)αに対する固有空間のrankが2の場合 固有空間の次元は、3-2=1次元。 ジョルダン細胞の数は1個。 1次元だからαの固有ベクトルは1個だけ。 βは単根だから、固有空間の次元は1次元で固有ベクトルは1個だけでジョルダン細胞の次元も1次。3次元行列だから、αに対するジョルダン細胞の次数は、3-1=2次元でなければいけない。 よって、J=J(α,2)+J(β,1) (2)αに対する固有空間のrankが1の場合 固有空間の次元は3-1=2次元。 2次元なので、固有ベクトルは2つ以上取れる。 ジョルダン細胞は2個でそれぞれ1次。 βに対するジョルダン細胞は上記と同じ。 よって、J=J(α,1)+J(α,1)+J(β,1)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形
次の行列Aをジョルダン標準形に変換せよ。 8 0 -1 -2 7 2 1 0 6 という問題なんですが、固有方程式を計算すると固有値は３重根で7でした。そこで固有値7に対する固有空間を求めると、多分計算が間違っていなければ x1=[1 0 1]^t , x2=[0 1 0]^t が一次独立なベクトルとして取れると思うんです。そして3本目が必要なので一般固有ベクトルを求めるために(A-7E)x3=x1としてx3(=[a b c]^tとする)を求めにいったんですが、これだと1本目の式と3本目の式はa-c=1で一致するんですが2本目の式は-2a+2c=0となりa,cが一意に決められません。これはさらに2本取れることを意味してるんでしょうか？仮にa=2,c=1として3本目のベクトルをx3=[2 0 1]^tとして進めていっても最終的なジョルダン標準形の形を計算したときに 7 0 1 0 7 0 0 0 7 とズレてしまいました。多分色々と間違いが重なった結果だと思うんですが、まだジョルダン標準形をしっかり理解できてないようなのでアドバイスよろしくお願いします！ ちなみに一次独立なベクトルを並べた行列をPとすると僕の場合Pは 1 0 2 0 1 0 1 0 1 となりますが解答のほうは 1 1 0 -2 0 1 1 0 0 でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
行列が、(3行×3列) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 のジョルダン標準形を求める計算なのですが、固有値を出したときに0のみになってしまい、初めに求める固有ベクトルがx＝0、Z＝0でｙに関しては何も出てきません。こういうときはyをaなどの定数としておいて一般固有ベクトルを計算していって良いのでしょうか？教えてくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
ジョルダン標準形について （２００） （２２０）＝Ａという行列のｅ^tAを求める際に （３１２） まずは対角化するのですが その時に必要なＰの求め方で悩んでいます。 Ａの固有多項式は|tE-A|=（t-2）^3となると思うのですが この場合のやり方を忘れてしまいました(:_;) 答え（の１つ）は （００１） （０２０） （２３０）となります。 そしてジョルダン標準形は （２１０） （０２１） （００２）です。 この１の数は次元を求めて分かるものでしたっけ？ 長々と書いてしましましたが Ｐの求め方とジョルダン標準形の１の数について 教えてください。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形の作り方
固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。 自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。 例題 A= [2 0 -1] [-2 3 2 ] [1 0 0] のジョルダン標準形を求めなさい。 解法 (1)固有多項式で固有値を求める。 固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2 λ=1(重解)、3 (2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。 「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、 つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、 λ=3の時、 rank(A-3E)=2 dim(A-3E)=3-2=1 λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。 λ=1について rank(A-E)=2 dim(A-E)=3-2=1 よってλ=1に対して、 ジョルダン細胞1つ。 (3)次にジョルダン細胞の次数を求める。 (A-3E)(A-E)≠0 (A-3E)(A-E)^2=0 より、最小多項式は (λ-3)(λ-1)^2なので、 λ=3のジョルダン細胞の次数は1 λ=1のジョルダン細胞の次数は2 よってJ=J(3,1)➕J(1,2) (➕は、＋の丸囲み) J= [3 0 0] [0 1 1] [0 0 1] 一応、答えは出ました。これで間違いないですか？ しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、 (A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。 これがけっこう面倒です。 そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形の求め方。
具体的な行列のジョルダン標準形の求め方がいまいちよくわかりません。どのように求めればいいのでしょうか？ 例えば3×3行列N= 0,1,0 0,0,0 1,0,0 に対して N^2= 0,0,0 0,0,0 0,1,0 またN^3=0ですよね。 この後v=N^2v1,v1≠0となるv1を見つける。 ちなみにv=(0,0,1)、v1=(0,1,0)となり P={N^2v1,Nv1,v1}とすればジョルダン標準形が求められる。 とあるのですが結局のところこのベクトルを見つければ ジョルダン標準形を作る正則行列Pが作れるのでしょうか？ 例えば実際に行列A= 5,-3,2,1, 1,2,1,0 -3,3,0,1 0,2,1,1 を求める場合の手順は、 (1)Aが冪零であることを示す。 (2)Pを構成するv1を見つける。 ということでいいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
たとえば、５ｘ５行列Aがあって、固有値が一つ２であるとします。重複度は５です。(A-2E)X=0から固有ベクトルを求めて、二つ独立な固有ベクトルあるとします。そのとき、固有値に対してジョルダン標準形の二つのブロックが作られるというルールがあると思いますが、そのブロックの順番は何でもいいですか？ 質問は たとえば、ブロック 「２」 とブロック [2100 0210 0021 0002] の順番はどうやってわかりますか？ 別のブロックの組み合わせもありうると思いますが、順番だけについて教えてください。 よろしくおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形を求める。
1 ３ -1 Ａ ＝ ０ ２ １ -1 ２ ２ について、ジョルダン標準形にする変形行列とジョルダン標準形を求めよという問題です。 固有値は２、２、２。 ３ -1 Ｖ(２) ＝ ＜ １ 、０ ＞ ０ １ であることまではわかるのですがその後どうやってジョルダン標準形を求めるのかが分かりません。 すみませんが、どなたか解説をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！ ジョルダン標準形はそうやって求めればいいんですね。 こんなにすっきりと求められるのですね♪ なんとかジョルダン標準形をつくれるようになりました。 助かりました！本当にありがとうございますm(＿ ＿)m