- ベストアンサー
グラムシュミットとジョルダン標準形
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
正規直交化はユニタリ行列を作成するために使う 正規行列はユニタリ行列によって直交化される ユニタリ行列で直行化されたものは正規行列である ジョルダン化するときにはユニタリ行列は使わない もちろん使えるならばあえて使ってもいいがな したがってジョルダン化の過程で直交化の作業はない >ジョルダン標準形を求めるときに、固有ベクトルを正規直交化すると >うまくいかなかったりしたので… 何をジョルダン化しようとしたのか補足に書け その方法も書け
その他の回答 (3)
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
A= [2 -1 0 0] [0 2 0 0] [0 -1 2 0] [0 0 0 2] の参照ページの解き方には問題がある もっと一般的な解き方を説明する まず、固有多項式とその因数分解式を補足に書け
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
>ということは、ただ対角化せよ、という場合は >ただジョルダン化すればいいということですか？ そんなこと書いてないだろうが 対角せよとある場合は対角化できるはずなので 対角化すればいいのだ 直交行列を使って対角化せよとあったら その行列は実対称行列であるので直交行列によって対角化すれば良い ジョルダン化は対角化できない場合にやるものだ そのときに通常ユニタリ行列や直交行列は使わない >問題として、直交（ユニタリ）行列を使って対角化せよ、 >と言われた場合は >固有ベクトルを正規直交化をしてもうまくいく行列が >与えられている、ということでしょうか。 定理：実対称行列は直交行列によって対角化される 定理：直交行列によって対角化されるならばその実行列は実対称行列である つまり直交行列によって対角化せよという場合は その実行列が対称行列でなければ不可能だということだ その実行列が対称行列でなければ問題が間違っているということだ
お礼
ありがとうございました。
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
表現がおかしかったので修正 正規直交化はユニタリ行列を作成するために使う 正規行列はユニタリ行列によって対角化される ユニタリ行列で対角化されるものは正規行列である
補足
ジョルダン化したのは A=(2 -1 0 0, 0 2 0 0, 0 -1 2 0, 0 0 0 2) http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/line7.pdf の問題です。
関連するQ&A
- グラムシュミットの直交化に関する質問です
グラムシュミットの直交化をする過程で、２つめの正規直交基底e2を求める際に a2'=a2-<a2-e1>e1 と置きますが、<a2-e1>e1はどんなベクトルを意味しているのでしょうか？行列の内積はなに？？その内積に(基底)e1をかけるのは何を意味すしているのか？？？わかりません。 またこの直交行列で実対象行列を対角化できるのですが、普通に固有値を求めて対角化できるのになぜこの様なことをしなければいけないのでしょうか？？ さらに、実対象行列じゃない場合にグラムシュミットの直交化を使えば対角化はある場合を除いて可能なのでしょうか？？ 一度にいっぱい質問して申し分けないんですが、教えてください！！
- 締切済み
- 数学・算数
- シュミットの直交化
対称行列は、必ず直交行列により対角化できます。そして、与えられた対称行列の固有値が重解である場合は、シュミットの方法で直交化する必要があると習いました。 しかし、固有値に重解がある対称行列で、たとえばある重解の固有ベクトルが t^p(1 1 0)+t^q(0 1 0)のような形になったとき、（p,qは０以外の任意の係数）、ここでシュミットの方法を用いず、ただ正規化して並べただけでも、正解にたどりついてしまう場合があります。これは単なる偶然でしょうか？ たとえば、 (1,0,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,0) (1,0,0,1) という行列では、固有値がλ=2,0(両方とも重解)で、λ=2の固有ベクトルはt^p(1 1 0 1)+t^q(0 1 1 0)で、λ=0の固有ベクトルはt^r(1 0 0 (-1))+t^s(0 1 (-1) 0)です。（p,q,r,sは０以外の任意の係数） これらを正規化して横に並べた行列は、シュミットの方法を用いた結果と同じになります。 これらのことから考えて、固有値に重解がある対称行列でも、シュミットの方法を用いなくて良いものと、用いなければならないものがあるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形の問題
A={[3,-1,1],[2,0,2], [1, -1,3]}のジョルダン標準形を求めようとしたのですが、固有値2が三重解となり、固有ベクトルを求めても標準形までたどり着けませんでした。どうすればよいでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- グラムシュミットの直交化法を用いて値の導出方法
今、実対称行列を求めたい。 このとき固有値は分かっており、正規直行行列が求まれば実対称行列を求めることができる。 このときの直行行列の1行目の要素は導出できていて、 残りの要素はグラムシュミットの直交化法により組み立てることができる、とあります。 このとき何を基底とし正規直行行列の値を求めれば良いのかが分かりません。 導出するに当たってまだ何か必要な条件があり、それについて考えていないため導出できないのでしょうか？ 導出に関してわかるかた教えて頂けないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- ジョルダン標準形をつくりたいのですが・・・
次の３Ｘ３行列Ａのジョルダン標準形を求めたいのですが、固有空間を求める段階でわからなくなっています。 （－１ １ ０） Ａ＝（ ０ －１ ４） （ １ ０ －４） 固有値は０、－３となり、次元は両方１次元。 固有値０の固有空間は、ａを任意定数として ａ（ １ １ １/４） （←の行列は転置です） 固有値ー３の固有空間は、ｂを任意定数として ｂ（ １ －２ １） （←の行列も転置です） ここから先がよくわからない部分なのですが・・・ （ここまででも間違っているかもしれませんので、違って いたら教えてください） 固有ベクトルの具体例を３つ用意するために、固有値ー３に対して、 ｐ｛Ａ－（－３）Ｅ｝＝ｑ ...（★） （Ｅは単位行列、ｑはー３の固有ベクトル具体例） を満たすｐを求めると、そのｐが３つ目の固有ベクトルになる・・・ でいいのでしょうか？ 実際、ａ＝１、ｂ＝１として（★）を計算して、具体的な固有ベクトルとして、 （０ －１ １）を出しました。 （←の行列は転置） そして、これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列Ｂを考えたとき、 （Ｂの逆行列）*Ａ*Ｂ を計算してもジョルダン標準形になりませんでした。。 ジョルダン標準形はおそらく （－３ １ ０） （ ０ －３ ０） （ ０ ０ ０） ではないかと思うのですが、解法がよくわかりません。 誰かご存知の方に教えていただきたいのです。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
ジョルダン標準形について （２００） （２２０）＝Ａという行列のｅ^tAを求める際に （３１２） まずは対角化するのですが その時に必要なＰの求め方で悩んでいます。 Ａの固有多項式は|tE-A|=（t-2）^3となると思うのですが この場合のやり方を忘れてしまいました(:_;) 答え（の１つ）は （００１） （０２０） （２３０）となります。 そしてジョルダン標準形は （２１０） （０２１） （００２）です。 この１の数は次元を求めて分かるものでしたっけ？ 長々と書いてしましましたが Ｐの求め方とジョルダン標準形の１の数について 教えてください。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形について
行列が、(3行×3列) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 のジョルダン標準形を求める計算なのですが、固有値を出したときに0のみになってしまい、初めに求める固有ベクトルがx＝0、Z＝0でｙに関しては何も出てきません。こういうときはyをaなどの定数としておいて一般固有ベクトルを計算していって良いのでしょうか？教えてくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ジョルダン標準形
次の行列Aをジョルダン標準形に変換せよ。 8 0 -1 -2 7 2 1 0 6 という問題なんですが、固有方程式を計算すると固有値は３重根で7でした。そこで固有値7に対する固有空間を求めると、多分計算が間違っていなければ x1=[1 0 1]^t , x2=[0 1 0]^t が一次独立なベクトルとして取れると思うんです。そして3本目が必要なので一般固有ベクトルを求めるために(A-7E)x3=x1としてx3(=[a b c]^tとする)を求めにいったんですが、これだと1本目の式と3本目の式はa-c=1で一致するんですが2本目の式は-2a+2c=0となりa,cが一意に決められません。これはさらに2本取れることを意味してるんでしょうか？仮にa=2,c=1として3本目のベクトルをx3=[2 0 1]^tとして進めていっても最終的なジョルダン標準形の形を計算したときに 7 0 1 0 7 0 0 0 7 とズレてしまいました。多分色々と間違いが重なった結果だと思うんですが、まだジョルダン標準形をしっかり理解できてないようなのでアドバイスよろしくお願いします！ ちなみに一次独立なベクトルを並べた行列をPとすると僕の場合Pは 1 0 2 0 1 0 1 0 1 となりますが解答のほうは 1 1 0 -2 0 1 1 0 0 でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
回答ありがとうございます。 ということは、ただ対角化せよ、という場合は ただジョルダン化すればいいということですか？ 問題として、直交（ユニタリ）行列を使って対角化せよ、 と言われた場合は 固有ベクトルを正規直交化をしてもうまくいく行列が 与えられている、ということでしょうか。