統計R：個体差を考慮した生存分析

質問

大学生です。

対象個体を箱にいれて観察し、地点 A を出発して地点 B に到達するまでの時間を記録しました。
観察時間内に到達できなかった個体は、「到達できず」として打ち切りました。
この実験を同一個体を用いて２回おこない、

統計ソフト：R
モデル：コックスの比例ハザード
応答変数：到達時間（打ち切り含む）
説明変数：試行（１回目 or ２回目）

において、１回目と２回目の試行間で到達までの時間に差があるかを調べようとしています。
ですが、各データは同一個体から得られたものですので、個体差を考慮する必要があります。

例えば、glmmML() では、cluster = 個体ID とすることで個体差を考慮した解析が可能ですが、
coxph() で ID を考慮するためには、どのようなモデルを作成すればよいのでしょうか？

指導教員より strata を提案されましたが、いまいち理解しきれず、自信がありません。

もし、お詳しい方がいらっしゃいましたら、どうぞお知恵をお貸しください。

回答No.5

stomachman

ANo.4のコメントについて。ご参考までにヒントを。

　N個の個体から成る集団Sの各個体xについて、まずA地点からB地点にいく時間を測定し、次に同じ試行をもう一度行って、1回目に比べて2回目の方が成績が良かったかどうかを調べる、という実験を考えます。
　2回目には成績が上がった、と言いたいのならまずは
H(1/2):「集団Sのどの個体にとっても、１回目の試行と2回目の試行とは同等である。だから、成績のばらつきは偶然だけに依る」
というようなことを帰無仮説とすれば良さそうですが、これを検定しようとすると「成績のばらつき」を定量的に予測できないんで困りますよね。何がまずいんでしょうか。

　実験についてもう一度考えてみますと、「ある個体xについて、タスク達成に掛かる時間がどれだけ短縮したか」という数値は、タスクの性質におおいに依存しているんじゃないでしょうか。タスクを達成する上で重要なのが、環境に怯えないことなのか、速く走ることなのか、複雑な分岐を迷わず選択することなのか、見えない場所にあるものの匂いを嗅ぎ取ることなのか、…それはタスクによるでしょう。つまり、単一のタスクだけを使った実験では、この数値にさしたる意味はないんです。（定量的に「時間がどれだけ短縮したか」ということをキチンと考察するためには、多様なタスク同士を比較し、タスクにどんな要因が含まれているかを探る実験が必要でしょう。）
　また、仮に、ある1個体cについては1回目が100秒で2回目が10秒、他の10個体はどれも1回目が10秒で2回目が11秒だったとしたら、「平均時間を見れば、成績が上がったと言える」という結論で良いでしょうか？そりゃやっぱり無理ですよね。
　では「成績が上がった」という結論はどのように裏付けられるのか。それは専ら「大抵の個体において、１回目より2回目の方が速かった」という定性的な情報に依ってでしょう。

　という訳で、時間の数値のことは忘れて「１回目より2回目の方が速かったかどうか」だけに着目しましょう。すなわち、帰無仮説を精密化して、
H(1/2):「集団Sのどの個体についても、１回目の試行より2回目の試行の方が成績が良くなることも、逆になることも、同等の確率で生じる」
ということを考える。
　個体xのk回目の試行の成績v(k,x)は、A地点からB地点に速く到達できるほど高得点であるとし、また、所定の時間内にB地点に到達できなかった場合は最低点であるように定義してあるものとします。すると帰無仮説H(1/2)から
「集団Sのどの個体xについても、命題
　　X(1/2):　P(v(1,x) ＜ v(2,x)) = P(v(2,x) ＜ v(1,x)) = 1/2
が成立つ」という＜確率的な予言＞が帰結できるので、
　　L = {x | x∈S ∧ v(1,x) < v(2,x)}
とすると、z=|L| (集合Lの要素数）は２項分布
　　B(z,N,1/2)= (NCz)((1/2)^N) (0≦z≦N)
に従うことになる。もし、データが（適当な有意水準において）これを棄却するのであれば、H(1/2)の否定が結論できます。
（実際にはv(1,x)=v(2,x)=最低点という個体も生じるでしょうから、その扱いも考慮しておかねばなりません（でも、データを捨てちゃ駄目です）。ですが、ここでは話を簡単にするために、v(1,x)≠v(2,x)だとしています。）

　この帰無仮説をもう少し一般化して
H*(p) : 「集団Sのどの個体についても、１回目の試行に比べて2回目の試行の成績が上がる確率はp以下である」
とするとどうでしょうか。
　もちろん、個体xごとに、１回目の試行に比べて2回目の試行の成績が上がる確率p(x)が異なるかもしれません。でも、H*(p)を満たす「最良」の場合を考えることができます。すなわち、どの個体についてもp(x)が仮説が許す最大値pであったとする。その場合でもz=|L|は２項分布
　　B(z,N,p)= (NCz)(p^z)((1-p)^(N-z)) (0≦z≦N)
に従うのだから、もしこの分布から予測される頻度に比べて有意に大きい頻度(たとえば有意水準1%)で「１回目の試行に比べて2回目の試行の成績が上がった」個体が生じたのなら、この帰無仮説は棄却できて、「有意水準1%以下」でH*(p)の否定が結論できることになります。（ここで「有意水準1%以下」というのは、H*(p)が1%の有意水準でギリギリ棄却できたとしても、それは、H*(p)を満たす「最良」の場合を棄却したのですから、最良でない場合についてはもっと低い有意水準で棄却できていることになるからです。）H*(p)の否定は「集団S中に、１回目の試行に比べて2回目の試行の成績が上がる確率がp以上である個体がいる」ということであり、結論としてはちょっとパンチ不足です。もっと旨い帰無仮説を工夫できないでしょうかね。