２直線のなす角

質問

原点を通り、直線ｘ＋２ｙ-４＝０と４分のπの角を
なす直線の方程式を求めよ。

です！途中式わかりやすくお願いします(´・ω・`)

回答No.4

alice_44

ax+by+c=0 の法線ベクトルは (a,b) です。
x+2y-4=0 なら、(1,2) ですね。
法線ベクトルどうしの成す角が、
平面直線どうしの成す角になります。
ベクトルの成す角は、内積の計算を使って、
(1,2)・(a,b) = 1a+2b = √5√(aa+bb)cos(π/4)
と記述できます。この式から
(1a+2b)2乗 = (5/2)(aa+bb) を経て (3a+b)(a-3b)=0
すなわち a:b = 1:-3 または 3:1 と判ります。
原点を通るなら c=0 ですから、
求める直線は、x-3y=0 または 3x+y=0 です。
「成す角」の定義に帰着することが、ポイント。

回答No.3

info22_

No1です。

ANo1の訂正です。

やり方は合ってますが
tan(π/4)=1なのを=1/√2と勘違いして計算してました。
以下、訂正します。

>x+2y-4=0
>y=-(1/2)x+2
>この直線のx軸と成す角をaとすると直線の傾きは
>　tan(a)=-1/2
>この直線とπ/4を成す成す直線の傾きは
>　tan(a+π/4)=(-(1/2)+(1/√2))/(1-(-1/2)/√2)=2(√2-1)/(4+√2)
>　　=2(√2-1)(4-√2)/(16-2)=(5√2-6)/7
正：tan(a+π/4)=(-(1/2)+1)/(1-(-1/2)*1)=1/3

>または
>　tan(a-π/4)=(-(1/2)-(1/√2))/(1+(-1/2)/√2)=-2(√2+1)/(4-√2)
>　　=-2(√2+1)(4+√2)/(16-2)=-(5√2+6)/7
正：tan(a-π/4)=(-(1/2)-1)/(1+(-1/2)*1)=-3

>したがってこれらの傾きの原点を通る直線は
>　y=(5√2-6)x/7
>　y=-(5√2+6)x/7
正：y=x/3
y=-3x

>の２直線である。

図を描いたので添付します。参考にしてください。

回答No.2

spring135

傾きm,m'を有する２直線のなす角θについて

tanθ=|m-m'|/(1+mm')　　　　（０）

が成り立ちます。この公式は教科書に必ず出てますので確認してください。

直線ｘ＋２ｙ-４＝０を変形すると

y=-x/2+2 (1)

となり傾きmは

m=-1/2

求める原点を通る直線の傾きをm'とするとこの直線は

y=m'x　　　　　(2)

(1)と(2)のなす角θ＝π/4　　　(3)

(1)、(2)、(3)を（0）に代入すると

tan(π/4)=1=|-1/2-m'|/(1-m'/2)

1-m'/2=|-1/2-m'|

2-m'=|-1-2m'|

1)-1-2m'>0すなわちm'<-1/2のとき

2-m'=-1-2m'

m'=-3

これはm'<-1/2をみたしている。

2))-1-2m'＜0すなわちm'>-1/2のとき

2-m'=1+2m'

m'=1/3

これはm'>-1/2をみたしている。

答え

y=-3x

または

y=x/3

回答No.1

info22_

x+2y-4=0
y=-(1/2)x+2
この直線のx軸と成す角をaとすると直線の傾きは
　tan(a)=-1/2
この直線とπ/4を成す成す直線の傾きは
　tan(a+π/4)=(-(1/2)+(1/√2))/(1-(-1/2)/√2)=2(√2-1)/(4+√2)
　　=2(√2-1)(4-√2)/(16-2)=(5√2-6)/7
または
　tan(a-π/4)=(-(1/2)-(1/√2))/(1+(-1/2)/√2)=-2(√2+1)/(4-√2)
　　=-2(√2+1)(4+√2)/(16-2)=-(5√2+6)/7
したがってこれらの傾きの原点を通る直線は
　y=(5√2-6)x/7
　y=-(5√2+6)x/7
の２直線である。