数学で関係;順序対の集合(?)に関する質問

質問

transitive(すいません、日本語で「推移的」ですか?)について質問です。

A={1, 2, 3, 4}として
R={(1,2),(1,4),(2,4)}がtransitiveになるのは分かります。
1と2がつながって、2と4がつながっているから
それらを辿っていくと1と4が間接的につながっていることになります。

でも何故{(3,4)}がtransitiveになるんですか?

定義だと
"A relation R on a set A is called transitive
if whenever (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R, then (a, c) ∈ R, for all a, b, c ∈ A."

もしa, b, cがAの元として含まれており、
(a, b) ∈ Rと(b, c) ∈ Rの条件が満たされる時はいつでも(b, c)がRの元として含まれる場合は
集合A上の関係Rはtransitiveと呼ばれる。

教授に聞きに行ったのですが、「これがdefault(省略時選択)だ、そう覚えるしかない」と言われました。
つまり(a, b) ∈ Rと(b, c) ∈ Rの片方しか満たされていないので自動的にtransitiveになるそうです。
でも納得がいきません。

3(一番目)と4(二番目)がつながっていて、3(二番目)と4(三番目)がつながっていても
4(二番目)と3(二番目)はつながっていませんよね?
なのにtransitive???
…納得いく説明をお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

飛行機便の例でいえば

大阪から東京まで、と
東京から札幌まで、の飛行機の便が「あるときに」
大阪から札幌まで直で飛べる便もある、ような場合だと思っています。

じゃあ途中経由がないときはどうなの？ということになります。
大阪から名古屋までの便と東京から仙台の便しかないとき
大阪から仙台の直行便があろうとなかろうと関係ないでしょう。

定義は　途中経由便が「あれば」直行便がある。
と言っているだけです。
この定義なら
｛（１，２），（３，４）｝でも定義を満たしていると思いますがいかがですか。

お礼

ようやく分かりました!
{(1,2),(3,4)}ではつながってないので
別に(1,4)は必要ないんですね。
これが{(1,3),(3,4)}になってしまった時には
条件を満たすために(1,4)が必要になるんですね。
単独で存在する(1,2)や(3,4)は放置でいいんですね。
分かりやすい説明でした。
ありがとうございました!

回答No.1

waseda2003

>3(一番目)と4(二番目)がつながっていて、
>3(二番目)と4(三番目)がつながっていても
>4(二番目)と3(二番目)はつながっていませんよね?

R={(3，4)}のときには「(a，b) ∈ R and (b，c) ∈ R」という選び方ができないと言いたいのでしょうか。
だとすれば，transitiveといえますよね。
「できたときは(a，c)∈R」という条件は満たされるわけですから。

R={(1，2)，(1，4)，(2，4)}

のときに「(1，2)∈R，(1，4)∈R」を選んでも成り立つ
という状況と同じです。
（こちらは分かるとおっしゃってますよね？）

お礼

すみません、まだ理解できていないです。
普通こういう「選択できない・条件が満たされない」ときはtransitiveじゃない、べきだと思うんです。
「大卒27歳未満募集」で「大卒ですが30歳です」では普通却下ですよね?(笑)

私が考えるtransitiveというのは
大阪から東京まで、と
東京から札幌まで、の飛行機の便があるときに
大阪から札幌まで直で飛べる便もある、ような場合だと思っています。

R={(3，4)}が二つの別の集合だとすると
大阪から東京まで、と
仙台から札幌まで、の飛行機の便があります、
しかし、東京と仙台はつながっていません、
というイメージになってしまいます。
それなのにtransitive…うーん。
例が悪いでしょうか?
出来れば更なる説明をお願いします。
ありがとうございました。