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イデアルの和集合
Rは単位元1をもつ可換環。A,B,CはRのイデアルとする。 (1)A∪BはRのイデアルか。 (2)A⊂C, B⊂Cとするとき、A∪BとCの包含関係を調べよ。 (1)はイデアルにならないと思いますが、特別な場合はイデアルになりますよね。 A=ゼロイデアルとか、B=Rでもイデアルですよね。 線形で、2つの部分空間X,YがあってX∪Yも部分空間になるとき、X⊆YかX⊇Yだと教わりました。 イデアルだと、A∪BがイデアルとA⊆BかA⊇Bは同値ですか。 A⊆BかA⊇Bは十分条件なのは明らかですが、必要条件かどうかがわかりません。 (2)は集合として考えればA∪B⊆Cだと思うのですが、イデアルなのでA∪B⊂Cかもしれないと思います。 Cの元の中にA∪Bの元でないものがあればいいのですが、なかなか思いつきません。 やはり真部分集合じゃなくて、部分集合までしか成り立たないのでしょうか。
- misumiss
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(2)の問題文に出てくる「⊂」は、 真部分集合ではなく、部分集合の意味 ではないかと思いますが… 高校までと、大学以降では、 「⊂」という記号の意味は、違うのが通常です。 旧文部省の記号遣いは、独特ですから。 とはいえ、質問どおり、 「⊂」を真部分集合の意味で考えてみましょう。 A∪B=C と仮定すると、 A∪B がイデアルになりますから、 (1)より、A⊇B または A⊆B です。 従って、A=A∪B=C または B=A∪B=C となります。 これは、A⊂C かつ B⊂C に反します。 よって、背理法により証明終了です。
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- alice_38
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(1)は、「イデアルだとは限らない」です。 また、「A⊇B または A⊆B」は、 必要十分条件です。 貴方が教わった、部分線型空間の場合の証明を、 読み返してみましょう。 通常、その証明には、 スカラーによる割り算は出てこないので、 そのままの証明が、部分加群についても 当てはまります。 環は、それ自身への作用をスカラー倍と定義 すれば、加群になりますが、 イデアルとは、この加群の部分加群のこと なので、先の証明で完了です。
お礼
部分線型空間の場合の証明をノートで確認したら、その証明がほとんどそのままイデアルの和集合にも使えるので驚きました。 部分空間とイデアルは良く似ていると思いました。 良いアドバイス、ありがとうございました。
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