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可換体論のネーター環の章での素イデアルの性質についての質問
- イデアルAが可換体論のネーター環の素イデアルで、イデアルAがどの素イデアルPiにも含まれていない場合、Aの元aで、どの素イデアルPiにも含まれないものが存在しますか?
- 参考書によると、帰納法を用いて証明することができます。証明の概要は、帰納法の仮定として仮定する素イデアルPn-1まではAに含まれず、Pn-1の元a1もPnに含まれないとします。そして、Pn-1とPnの関係を考えると、PnはPn-1に包まれず、Pnに含まれない元bを適切に選ぶことができます。最後に、a=a1+bとすることで、Aの元aで、どの素イデアルPiにも含まれないものが存在することがわかります。
- 質問者さんは、「aがAの元」という部分に疑問を持っています。なぜなら、aの定義によってbもAの元となるため、bはP1---Pn-1の元でPnに包まれないものとなります。しかし、参考書の証明では、aがAの元であるとされているため、疑問が生じています。
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