微分係数、導関数とは？その定義と意味について
- 微分係数、導関数とは数学の概念であり、関数の傾きを表すものです。
- f(x)=2の導関数が0になる理由は、f(x)=2がx軸に平行な直線であるためです。
- f(x)=x^3の導関数はlim[h→0](3x^2+3xh+h^2)であり、hが0に近づくと3x^2になります。この場合、両辺は等しいと言えます。
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微分係数、導関数（数学II）
f(x)=2の導関数は0です。 f(x)=yとすると、y=2はx軸に平行な直線となるので、傾きを表す導関数が0になるというのは肯けます。 しかし納得できない点があります、 f(x)=2の導関数を導関数の定義に従って求めると f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0―(1) となります。 また、f(x)=x^3の導関数は f´(x)=lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)―(2) =3x^2 となります。 (2)はhが0の時に3x^2になるということを示していますよね？ じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。 もしや私の考えていることは前提が間違っていて、(2)の場合、hが0に近づけば、f´(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか？ でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。 「3x^2であること」（3x^2）と「3x^2に限りなく近いということ」（lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)）は別だと思うのです。 そして仮にそうだとしても(1)に納得する理由にはならない気もします。 hが0に近づくといいますが、0になってしまったら式が成り立たなくなってしまいますよね。 2-2/hという式は、hが0以外のときに成り立つと思うんです。 質問をまとめると、 その1 f(x)=2の導関数、つまり f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0 ←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう？ その2 f(x)=x^3の導関数、つまり lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか？ 定義の理解も曖昧ですみません・・・。 よろしくお願いします！
- fruphotr
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>じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。 分子は、hに関係なく常に"2-2=0"です。分母は、無限にゼロに近付くだけで、決してゼロにはなりません。分子がゼロですから、微分係数は常にゼロです。0/0(=不定)ではないことに注意してください。 >(2)の場合、hが0に近づけば、f´(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか？ その通りです。そして、hを無限にゼロに近付けた極限値が微分係数の定義です。 >でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。 できます。分母のhは、分子を除して無くなってしまうので、ゼロ割ではなくなります。安心してゼロにしてください。但し、分母がhのうちにゼロにしてしまうとゼロ割になるので、気をつけてください。 >その1 f(x)=2の導関数、つまり f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0 ←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう？ 上述したとおり、分子がゼロなので、hの値に関係なく常にゼロです。 >その2 f(x)=x^3の導関数、つまり lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか？ 上述した通り、この場合は等式で結ぶのが正しいです。 補足： 質問者さんは、なめらかな曲線の例を(2)に挙げているので、h→0の極限値として、最終的にh=0にできますが、なめらかでない曲線の場合は、h→+0とh→-0とで極限値が異なる点があります。この場合は、その点においては、上側と下側とで別々の微分係数があるので、質問者さんが考えられているように、その点では、微分係数が定義できないことになります。 質問者さんは、ただ単に解いてくれという愚かな質問ではなく、考え抜いた末に、悩ましい質問を挙げられましたね。久し振りにまともな質問を見た感じがします。今後も悩んで頑張ってください。
その他の回答 (2)
- hugen
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(2-2)/h = 0/h=0 h=1 なら 0/h=0/1=0 h=0.1 なら 0/h=0/0.1=0 h=0.01 なら 0/h=0/0.01=0 0,0,0,・・・ f'(x)= 0
お礼
ありがとうございます。 hが0以外なら傾きが0になりますが、仮にhが限りなく0に近づいたとしても傾きは0になるので、f(x)=2という式を微分するのに問題はないということが理解できました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
本気でやるなら極限の定義から始めないといけないんだけど, 高校ではたぶん出てこないんだよね.... というわけで以下はごまかしの説明. lim[h→0] は「h を 0 に近づけていったときにどのような値に近づいていくか」ということ. 例えば (2)式の lim[h→0](3x^2+3xh+h^2) は「h を 0 に近づけていったときに 3x^2+3xh+h^2 はどのような値に近づいていくか」ということで, 3x^2 以外の項は 0 に近づいていくので結局 3x^2 だけが生き残る. 気になるなら「h を変数として」3x^2+3xh+h^2 のグラフを書き, その上で h を 0 に近づけてみればいい. 注意しなきゃならないのは, 間違っても「h を 0 にする」などと考えてはならないという点. 極限というのはあくまで「0 に近づける」だけであって「0 にする」こととは違う. ところで, (2)式では [f(x+h)-f(x)]/h を約分してるのに, なんで (1)式では約分しないんでしょうか?
お礼
ありがとうございます。 (2)に関してはやはり０に近づくという考え方が正しいようですね。 (1)は分母にhが残っている場合どうなるのでしょうか？という部分に焦点を当てたもので・・・と言いたい所ですが0にはならないそうなので約分できますね！
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