関数方程式、微分方程式

質問

関数f(x)は、f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)を満たしている。
関数f(x)が、x=0で微分可能であるとき、
(1)　関数f(x)はすべてのxの値で微分可能であることを示せ。
(2)　関数f(x)を求めよ。
※(2)はわかるので省きます。

y=0と置くと、f(x+0)=f(x)+f(0)+f(x)f(0)より、
f(0){f(x)+1}=0
従って、f(0)=0またはf(x)=-1
●(i)f(0)=0のとき
f'(0)=lim[h→0] f(h)/h = aとおくと、
f'(x)=lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0] {f(h)+f(x)f(h)}/h
= a{f(x)+1}
●(ii)f(x)=-1のとき
f'(x)=0より、微分可能。

f'(0)が存在するので、それを利用してf'(x)が存在することを示す、というのはわかります。
なぜy=0を代入するのですか？
代入すると上手くいきますが、必ずしもy=0でなければいけないのでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(i) のとき、f'(x) を f'(0) に帰着するために、
f(0)=0 が必要になります。着眼点は、ここです。

所与の関数等式をどうにかして、
f(0) の値が判ればよいのです。
どうこうしようにも、一本の式以外は
0 での微分可能くらいしか判っていないので、
できることは代入くらいのもの。
その際、f(0) 以外のものが必要になると
そっちの値の調達に困るので、
0 を入れてみる というのは
まず試してみるべきものの一つです。
いろいろ模索するのですが、今回は、
たまたま y=0 がうまくいったのでした。

私は、x=y=0 なども試してみましたが、
f(0)=-1 の場合の処理を考えると、
y=0 から (ii) へ繋げるのが、うまいですね。

お礼

納得いきました。
ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

やってみたんだとしたら, 例えば y=1 のときどうだったかって体感してていいと思う.

お礼

変数はy以外にもxがありますから、そちらも調べなければいけません。
また、代入以外にも(1)を導く方法があるかもしれません。
そう考えると、キリがないと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

疑問を持つのはいいことなんだけど....

質問する前に手を動かしてみましたか?

補足

やりましたよ。ちなみに、2回目です。
1回目（1~3ヶ月くらい前）は慣れてなかったために解説を見てもわかりませんでした。
今回は解いている最中に解法を思い出したので解けました。
解法がわかっても理由がわかりません。