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微分がわかりません。
この頃微分を勉強しはじめた者です。 ある関数において、ある任意の座標x＝aの点を取り、aを増加させた点をa＋hと置く。 この時 f（a+h）－f（a）/hの式は平均変化率は表すことはわかりました。 ＿＿＿＿＿ hの値を限りなく0に近づけていくと、aとa+hの幅がどんどん狭まって行き、ついには f（a+h）－f（a）/hの式は 微分係数を表す式になる。 （実際にはf'（a）とlimの表記がいりますが・・・） これもわかります。 ＿＿＿ わからないのはここからです。 実際に微分の計算をする時 最終的にhに0を代入しますよね？ このことが疑問なんです。 実際にhは0に限りなく近い数字なんですよね？ なのになぜ0を代入するんですか？
- ojkdjskaja
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本来は、h=0 を代入するのではなく、 あくまで、h→0 の極限を求めるのです。 h=0 で替えられるのは、 ｛ f(a+h) - f(a) ｝/ h が、h の関数として h=0 で連続な場合だけです。 要するに、lim[h→0] q(h) = q(0) だから、 よって lim[h→0] q(h) = q(0) だ と言っているだけで、単なる同語反復なのですが、 高校の範囲では、｛ f(a+h) - f(a) ｝/ h を 具体的に h の式で書いた瞬間に、 h=0 で連続であることが直感的に明らかな例 しか扱わないので、それで済んでいるのです。
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- rnakamra
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>実際に微分の計算をする時 >最終的にhに0を代入しますよね？ これが許されるのは{f(a+h)-f(a)}/h を計算して分母のhが約分されて消えるときだけです。 この場合に約分した式がh=0で連続であるならばh=0を代入したものがh→0の極限と等しいとしてかまいません。 ではf(x)がx=aで微分可能な場合でこの式が約分できない場合があるのか、というと一応あります。 (その場合でも、分子をテーラー展開した式を用いると必ず約分できます。高校の範囲は逸脱しますが。) その例として、sin(x)のx=aでの微分係数の導出があります。 {sin(x)}'|_(x=a)=lim[h→0]{sin(a+h)-sin(a)}/h =lim[h→0]{2*cos((2a+h)/2)*sin(h/2)}/h ={lim[h→0]{cos((2a+h)/2)}*{lim[h→0]{sin(h/2)/(h/2)} ここで左側の極限はh=0で連続ですのでh=0を代入してcos(2a/2)=cos(a) 右側の極限はh=0で連続ではありませんが、lim[x→0}{sin(x)/x}=1からこの極限は"1" この二つをかけてcos(a)*1=cos(a) となります。 上記の右側の極限に出たようにh=0を代入できない場合もあります。 (ほかにも高校の範囲ではe^xやlog(x)の微分の場合にも現れます。)
お礼
有難うございました。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
>実際に微分の計算をする時 >最終的にhに0を代入しますよね？ > >このことが疑問なんです。 >実際にhは0に限りなく近い数字なんですよね？ 微分係数の定義には、x=aにおいて微分係数f'(a)が存在する前提条件として f(x)がx=aにおいて連続であることです。 つまり,f(a)が存在し、かつ lim[h→0]f(a+h)＝f(a) 、lim[h→0]f(a-h)＝f(a) であることが前提条件となっているから lim[h→0]f(a+h)＝f(a+0)＝f(a) 、lim[h→0]f(a-h)＝f(a-0)＝f(a) が保証されているわけです。 つまり h→0 が h=0 とおけることが保証されているわけです。
お礼
有難うございました。
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