f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能と示す

質問

お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。

お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。

>>ｆ(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義

lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。

k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき、fy(a,b)=B

∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0

a=0,b=0として、

f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk|
f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は
fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0
fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0

これらを定義に代入して、
lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて

点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とｒのなす角をθとする。

cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ
(ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0)

(※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より
lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2
= lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r
= lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ|

∴　極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

いいんじゃない？
語り口はモタついているけれど、
内容に間違いは見られない。
正解。

お礼

iいつもお世話になります、alice_44さん。
添削ありがとう御座います。

回答No.2

info22_

(x,y)=(0,0)で全微分不可能であることを示すには、
(x,y)→(0,0)への全ての方向微分係数が一致しない、つまり、最低２つの異なる方向微分係数の存在を示せばよい。

x=y=t,t→+0とした時の方向微分係数は
√|xy|=tなので lim(t->+0)(t)'=1 …(1)

x=y=t,t→-0とした時の方向微分係数は
√|xy|=-tなので lim(t->+0)(-t)'=-1 …(2)

(1)と(2)が異なる。ゆえに全微分不可能である。

なお、他の方向微分係数として
y=0としてx→0とした時の方向微分係数は
√|xy|=0なので lim(x->0)(0)'=0 …(3)
と(1),(2)とも異なる方向微分係数が存在すると示すこともできる。

また、y=2xとしてy→+0とした時の方向微分係数は
√|xy|=(√2)xなので lim(x->0)(x√2)'=√2 …(4)
と(1),(2),(3)とも異なる方向微分係数が存在すると示すこともできる。

お礼

>>方向微分係数の存在を示せばよい。

すごくシンプルに微分不可能を示すことができるんですね、全微分の定義に代入する形にこだわりすぎました。

ご指導、ありがとう御座います！