対数微分法による微分問題

質問

対数微分法の問題

以下を全て対数微分法で解きたいのですが、分かりません。

1. y={(a+x)(b+x)}/{(a-x)(b-x)}
2. y=(x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4}
3. y=(a+x)^(1/x)
4. y=x^sinx

ご教授願います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

対数微分法だと両辺の自然対数をとるので、式の左辺と右辺が対数の真数になるため、共に正と考える。更に因数毎に対数を分割するので因数毎に真数条件を満たさないといけない。あるいは、真数が負の場合は複素対数関数として扱うやり方もある。

1. y={(a+x)(b+x)}/{(a-x)(b-x)}
y={(x+a)(x+b)}/{(x-a)(x-b)}>0
すなわち「y>0,(x+a)(x+b)(x-a)(x-b)>0」の条件のもとで
両辺の自然対数をとって
log(y)=log({(x+a)(x+b)}/{(x-a)(x-b)})
[場合分けしない場合]
xで両辺微分
y'/y=({(x-a)(x-b)}/{(x+a)(x+b)})*
{(2x+a+b)(x-a)(x-b)-(2x-a-b)(x+a)(x+b)}/{(x-a)(x-b)}^2
={(2x+a+b)(x-a)(x-b)-(2x-a-b)(x+a)(x+b)}
/{(x-a)(x-b)(x+a)(x+b)}

y'=y{(2x+a+b)(x-a)(x-b)-(2x-a-b)(x+a)(x+b)}
/{(x-a)(x-b)(x+a)(x+b)}
={(2x+a+b)(x-a)(x-b)-(2x-a-b)(x+a)(x+b)}
/{(x-a)(x-b)}^2
あとは分子を計算するだけなのでやれますね。

[場合分けする場合]
「x+a>0かつx+b>0かつx-a>0かつx-b>0」の場合(y>0)
log(y)=log({(x+a)(x+b)}/{(x-a)(x-b)})
=log(x+a)+log(x+b)-log(x-a)-log(x-b)
なので両辺xで微分して
y'/y=1/(x+a)+1/(x+b)-1/(x-a)-1/(x-b)
y'={(x+b)/((x-a)(x-b))}+{(x+a)/((x-a)(x-b))}
-{(x+a)(x+b)/{(x-a)^2*(x-b)}
-{(x+a)(x+b)/{(x-a)*(x-b)^2}
={(2x+a+b)/((x-a)(x-b))}
-(x+a)(x+b){(2x-a-b)/(x-a)^2*(x-b)^2}
と対数微分法を使わない場合の微分の式と一致します。

以下の(y>0を満たす)他の場合についても、対数微分法でやってみてください。y>0となる
「x+a>0かつx+b>0かつx-a<0かつx-b<0」
「x+a<0かつx+b<0かつx-a>0かつx-b>0」
「x+a<0かつx+b<0かつx-a<0かつx-b<0」
などで場合分けする。

2. y=(x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4}
y>0となる「x≠-1,-3,x>2」の条件のもとで
両辺の自然対数をとると
log(y)=log((x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4})
[場合分けしない場合]
両辺をxで微分
y'/y=({(x+2)^3*(x+3)^4}/(x+1)^2)*
((x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4})'
y'=y({(x+2)^3*(x+3)^4}/(x+1)^2)*
{2(x+1)(x+2)^3*(x+3)^4-(x+1)^2*((x+2)^3*(x+3)^4)')}
/{(x+2)^3*(x+3)^4}^2
=({(x+2)^3*(x+3)^4}/(x+1)^2)*
{2(x+1)(x+2)^3*(x+3)^4-(x+1)^2*((x+2)^3*(x+3)^4)')}
/{(x+2)^3*(x+3)^4}^2
後は単純計算なので計算して見て下さい。

[場合分けする場合]
y>0となる場合のx+1>0の場合
log(y)=log((x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4})
=2log(x+1)-3log(x+2)-4log(x+3)
両辺をxで微分
y'/y={2/(x+1)}-{3/(x+2)}-{4/(x+3)}
y'=((x+1)^2/{(x+2)^3*(x+3)^4})*({2/(x+1)}-{3/(x+2)}-{4/(x+3)})
あとは単純に計算するだけなので計算してみて下さい。

y>0となる他の場合
「-2<x<-1の場合」についても対数を
log(y)=2log(-x-1)-3log(x+2)-4log(x+3)
と分解して対数微分法でやってみて下さい。

3. y=(a+x)^(1/x)
a+x>0として
y>0なので両辺の自然対数をとって
log(y)=(1/x)log(a+x)
xで微分
y'/y=-(1/x^2)log(a+x)+{1/(x(a+x))}
y'=[-(1/x^2)log(a+x)+{1/(x(a+x))}]y
=[{x/(a+x)}-log(a+x)]{(a+x)^(1/x)}/x^2

4. y=x^sin(x)
x>0よりy>0
自然対数をとって
log(y)=sin(x)log(x)
xで両辺を微分
y'/y=cos(x)log(x)+sin(x)/x
y'={cos(x)log(x)+sin(x)/x}x^sin(x)

回答No.1

Tacosan

何がどうわからない?