数学の問題で解答を希望します。

質問

数学の入試問題なのですがこれであっていますでしょうか。問題と自分の解答（少し省略してありますが）を載せるので是非教えて下さい。ベクトルの問題です。↑はベクトル記号の代わりとしてみてください。また解答があってればあっていることを教えてくれるだけで構いません。

⊿OABにおいて辺AB上に tAB↑=AC↑ (0<t<1) となる点Cをとる。OA=1 OB=2 OC=1の時以下の問に答えよ。

(1)OC↑を OA,OB↑および ｔ を用いて表せ。

(2)内積OA↑・OB↑をtを用いて表せ。

(3)AC=1の時tの値を求めよ。

-自分の解答-

(1)OC↑=(1-t)OA↑+tOB↑

(2)(1)よりOC↑の両辺2乗 この時 |OA↑|=1 |OB↑|=2より
1=(1-t)^2+2t(1-t)OA↑・OB↑+4t^2 より
OA↑・OB↑=(2-5t)/2(1-t)

(3) (1)(2)よりAC↑=OC↑-OA↑ 両辺2乗 又|AC↑|=1より 両辺2乗
1=1-2OC・OA+1
ここで(1)のOC↑を代入する。
∴-2OA↑{(1-t)OA↑+tOB↑｝+1=0
-2(1-t)-2t(OA↑・OB↑)+1=0 ここでOA↑・OB↑を代入すると
-2(1-t)-2t*(2-5t)/2(1-t)+1=0 全体に1-tをかけると
-2(1-t)^2-2t+5t^2+1-t=0
3t^2+t-1=0
∴解の公式より
t=(-1±√13)/6 3<√13<4より
t=(-1＋√13)/6 これは範囲0<t<1をみたす。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(2)(3)の別解です。内積の定義さえ知っていれば簡単な幾何の問題です。
(2)内積OA↑・OB↑をtを用いて表せ。
＞AB=x、OからABに下ろした垂線の長さをyとすると、三平方の定理より
1=y^2+(xt/2)^2、4=y^2+(x-xt/2)^2
連立で解いてx^2=3/(1-t)
余弦定理より、x^2=1^2+2^2-2*1*2cos∠AOB=5-4cos∠AOB
cos∠AOB=(5-x^2)/4={5-3/(1-t)}/4
OA↑・OB↑=1*2*cos∠AOB=2*{5-3/(1-t)}/4=(2-5t)/2(1-t)
(3)AC=1の時tの値を求めよ。
＞(2)からx^2=3/(1-t)
AC=1=xt、x=1/t、代入して1/t^2=3/(1-t)、3t^2+t-1=0、t={-1±√13}/6
t＞0だからt=(-1+√13)/6

お礼

回答ありがとうございます！
なるほど。自分も今解き直してみました。
このほうが式が少なくきれいにできますね。

回答No.1

info22_

(1)
答えは合ってますが、
途中計算がないと減点されるかも？

(2)
答えは合ってますが、
「両辺2乗」と書くと減点される。
「両辺それぞれ自身と内積をとると」などと書くべきでしょう。
「ベクトルの自乗」というのは定義されてない。積としては、内積と外積は定義されている。

(3)
>AC↑=OC↑-OA↑ 両辺2乗
これ「両辺2乗」も減点対称だよ。
AC↑・AC↑=OC↑・OC↑-2OC↑・OA↑+OA↑・OA↑ ...(☆)
ここで
左辺=AC↑・AC↑=AC^2*cos(0)=AC^2=1^2=1
OC↑・OC↑=OC^2cos(0)=1
OA↑・OA↑=OA^2cos(0)=1　…(△)
を(☆)に代入して
>1=1-2OC↑・OA↑+1
>ここで(1)のOC↑を代入する。
>∴-2OA↑{(1-t)OA↑+tOB↑｝+1=0
↑内積の記号が抜けたので減点対象にされる。
∴-2{(1-t)OA↑+tOB↑}・OA↑+1=0
-2{(1-t)OA↑・OA↑-2tOB↑・OA↑+1=0
(△)より
>-2(1-t)-2t(OA↑・OB↑)+1=0 ここでOA↑・OB↑を代入すると
>-2(1-t)-2t*((2-5t)/(2(1-t)))+1=0 全体に1-tをかけると
>-2(1-t)^2-2t+5t^2+1-t=0
>3t^2+t-1=0
>∴解の公式より
>t=(-1±√13)/6
> 3<√13<4より ←削除
0<t<1を満たすtは
t=(-1＋√13)/6
>これは範囲0<t<1をみたす。 ←削除

お礼

ありがとうございます！ということは（３）は答えだけはあっているということでしょうか？