【至急】空間ベクトルの問題

質問

明日までの宿題なのですが、答えが分からず不安です
解答（解法）を書いて頂けると助かります・・・！
どうぞよろしくおねがいします<m(__)m>

四面体OABCがあり、

OA=OC=AC=1, OB=2,
BC=√3, ∠AOB=90°

である。

また、三角形OABを含む平面をαとし、
点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をＨとする。

さらに、OAベクトル=aベクトル, ＯＢベクトル=ｂベクトル, ＯＣベクトル=ｃベクトル　とする。

（１）内積　ａベクトル・ｂベクトル　、ｂベクトル・ｃベクトル、　ｃベクトル・ａベクトル　の値を求めよ。

（２）OHベクトルをaベクトル、ｂベクトルを用いて表せ。また、線分ＣＨの長さを求めよ。

回答No.5

yyssaa

（１）内積　ａベクトル・ｂベクトル　、ｂベクトル・ｃベクトル、　ｃベクトル・ａベクトル　の値を求めよ。
＞ベクトルを↑で、内積を↑・↑で表します。
↑a・↑b=1*2*cosπ/2=0・・・答
△OBCでOB^2=OC^2+BC^2が成り立つから∠C=π/2、OC/BC=1/2から
∠O=π/3、よって↑b・↑c=2*1*cosπ/3=1・・・答
△OACは正三角形だから↑c・↑a=1*1*cosπ/3=1/2・・・答
（２）OHベクトルをaベクトル、ｂベクトルを用いて表せ。また、線分ＣＨの長さを求めよ。
＞点O、A、B、Hは同一平面上にあるので、s,tを実数として
↑OH=s↑a+t↑bとおくと↑CH=↑OH-↑c=s↑a+t↑b-↑c
↑CHと↑a、↑CHと↑bはそれぞれ直交するので、
↑CH・↑a=(s↑a+t↑b-↑c)・↑a=s|↑a|^2+t↑a・↑b↑-↑c・↑a
=s-1/2=0からs=1/2
↑CH・↑b=(s↑a+t↑b-↑c)・↑b=s↑a・↑b↑+t|↑b|^2-↑b・↑c
=4t-1=0からt=1/4
よって↑OH=(1/2)↑a+(1/4)↑b・・・答
↑CH=↑OH-↑c=(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c
|↑CH|^2=↑CH・↑CH
={(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c}・{(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c}
=(1/4)|↑a|^2+(1/8)↑a・↑b-(1/2)↑a・↑c+(1/8)↑b・↑a
+(1/16)|↑b|^2-(1/4)↑b・↑c-(1/2)↑c・↑a-(1/4)↑c・↑b+|↑c|^2
=(1/4)|↑a|^2+(1/4)↑a・↑b-↑a・↑c+(1/16)|↑b|^2
-(1/2)↑b・↑c+|↑c|^2
=(1/4)-(1/2)+(1/4)-(1/2)+1=1/2
よってCH=1/√2=√2/2・・・答

回答No.4

ferien

ANo.2です。　済みません。最後のところ、

＞よって、|CH|＝√2/2

でお願いします。

回答No.3

info22_

（１）内積　a↑・b↑　、b↑・c↑、　c↑・a↑　の値を求めよ。
a↑・b↑=1*2*cos90°=0
b↑・c↑=2*1*{2^2+1^2-3}/(2*2*1)=1
c↑・a↑=1*1*cos60°=1/2

（２）OH↑をa↑、ｂ↑を用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。
OH↑=pa↑+qb↑(p>0,q>0)...(A)とおくと

OH↑⊥CH↑,CH↑=OH↑-OC↑より
(pa↑+qb↑)・(pa↑+qb↑)-(pa↑+qb↑)・c↑
=p^2+4q^2-p/2-2q(1+4-3)/4
=p^2+4q^2-p/2-q=0 …(B)

a↑⊥CH↑,CH↑=OH↑-OC↑より
a↑・(OH↑-OC↑)=a↑・(pa↑+qb↑)-a↑・c↑
=p-(1/2)=0
p=1/2 ...(C)
(B)に代入
(1/4)+4q^2-(1/4)-q=0
q(4q-1)=0
q>0より
q=1/4 ...(D)
(C),(D)を(A)に代入して
∴OH↑=(1/2)a↑+(1/4)b↑
OH^2=OH↑・OH↑=((1/2)a↑+(1/4)b↑)・((1/2)a↑+(1/4)b↑)
=(1/2)^2*a^2+(1/4)^2*b^2 (∵a↑・b↑=0)
=(1/2)^2*1^2+(1/4)^2*2^2=1/4+1/4=1/2
∴OH=1/√2

∴CH=√(OC^2-OH^2)=√(1-(1/2))=1/√2

回答No.2

ferien

＞四面体OABCがあり、＞OA=OC=AC=1, OB=2, BC=√3, ∠AOB=90°である。
＞また、三角形OABを含む平面をαとし、
＞ 点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をＨとする。
＞さらに、OAベクトル=aベクトル, ＯＢベクトル=ｂベクトル, ＯＣベクトル=ｃベクトル　とする。

＞（１）内積　ａベクトル・ｂベクトル　、ｂベクトル・ｃベクトル、　ｃベクトル・ａベクトル　の値を求めよ。
∠AOB=90°より、cos∠AOB＝cos90°＝0　だから、a・b＝|OA|・|OB|・cos∠AOB＝0

△OBCは、OC：OB：BC＝1:2:√3の直角三角形だから、∠BOC＝60°cos∠BOC＝cos60°＝1/2
よって、b・c＝|OB|・|OC|・cos∠BOC＝2・1・(1/2)＝1

OA=OC=AC=1より、△OACは正三角形だから、∠AOC＝60°cos∠AOC＝cos60°＝1/2
よって、c・a＝|OC|・|OA|・cos∠AOC＝1・1・(1/2)＝1/2

＞（２）OHベクトルをaベクトル、ｂベクトルを用いて表せ。また、線分ＣＨの長さを求めよ。
点Hと点Aを結んだ直線とOBの交点をIとする。
OI：IB＝s：1-s　とおくと、
AI＝(1－s)AO＋sAB＝(s－1)OA＋s(OB－OA)＝－a＋sb
A,H,Iは一直線上にあるから、AH＝mAI　とおける。
よって、OH－OA＝m(－a＋sb)＝－ma＋msb　より
OH＝(1－m)a＋msb　……(*)

CH⊥△OABだから、CH⊥OA，CH⊥OB　より、CH・OA＝0，CH・OB＝0
CH・OA＝(OH－OC)・OA＝OH・OA－OC・OA＝OH・OA－(1/2)＝0　より、
OH・OA＝1/2　(*)より、
{(1－m)a＋msb}・a＝1/2より、(1－m)|a|^2＋ms(b・a)＝(1－m)・1＋ms・0＝1/2
1－m＝1/2　より、m＝1/2
CH・OB＝OH・OB－OC・OB＝OH・OB－1＝0より、OH・OB＝1
{(1－m)a＋msb}・b＝1より、(1－m)(a・b)＋ms|b|^2＝(1－m)・0＋ms・4＝1
4ms＝4・(1/2)・s＝1　より、s＝1/2
よって、(*)より、OH＝(1/2)a＋(1/4)b

CH＝OH－OC＝(1/2)a＋(1/4)b－c
|CH|^2＝|(1/2)a＋(1/4)b－c|^2
＝(1/4)|a|^2＋(1/16)|b|^2＋|c|^2＋2・(1/2)・(1/4)・(a・b)－2・(1/4)・(b・c)－2・(1/2)・(c・a)
＝(1/4)・1＋(1/16)・4＋1＋(1/4)・0－(1/2)・1－1・(1/2)
＝1/2　より、
よって、|CH|＝1/4

計算を確認してみてください。

回答No.1

kesexyoki

面倒なので、aベクトルのことを単にaのように書きますね。

（1）
a⊥b⇒a・b=0
△OACは正三角形ですので、∠AOC=60°よりc・a=1×1×cos60°=1/2
△OBCは3辺が分かっているので、余弦定理からcos∠BOC=1/2つまり∠BOC=60°です。
（因みに1:2:√3からも60°が出せます。）
よってb・c=1×2×cos60°=1

（2）
CH⊥αから、CH⊥a、CH⊥bが成り立ちます。
よって、CH・a=0、CH・b=0ですね。OH=sa+tbとでもおくと、（sとtはベクトルではありませんよ。）
CH=OH-OC=sa+tb-cですから、
CH・a=s|a|^2+ta・b-a・c、CH・b=sa・b+t|b|^2-b・c（展開の要領。ただし、2乗は大きさの2乗。）
あとは(1)の値、及び長さを代入するとs=1/2、t=1/4が出てきますので、
OH=(1/2)a+(1/4)b

CH=(1/2)a+(1/4)b-cこれを平方して計算してください。

（2）はとても大事です。
垂直・・・内積が0（2行目）
4点OABHが同一平面上・・・OH=sOA+tOB（2行目）
基点が揃っていない・・・AB=OB-OAを利用して基点をそろえる（3行目）
ベクトルを含む式の展開方法（4行目）
大きさ・・・2乗して求める
いずれも、ベクトルの問題では定番の事柄です。逆にこの5つの事項をしっかりマスターしていれば、ベクトルの問題で難儀することはないと思います。（あと知っておくべきことは、3点1直線上の成立条件くらいです。）

すいません。時間の関係上、今日はここまでにさせていただきます。
疑問点が残っているようなら、また質問してください。