放物線、空気抵抗あり、滞空時間

質問

表題の条件にて、抵抗が速度に比例する場合および速度の二乗に比例する場合における滞空時間は、空気抵抗を無視した場合に比べて長くなりますか？短くなりますか？
ウォルター先生の”粘性抵抗”の授業の最後で出された宿題なので回答を知りたいです。
http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-12/

回答No.3

noname#175206 · ベストアンサー

お礼、ありがとうございます。補足、承りました。#2です。

>上記の内容を是非、方程式を交えてといいたいところですが、やっぱり大変ですよね。

　大変ではありますが、私のような計算間違いの鬼がやらずともorz、適当なキーワードでネットを探せば、いろいろ見つかります。空気中の球の滞空時間というのは、あまり必要とされないためか、ぴったりのものは探しにくいようです。

　以下ですと、主に弾道から到達距離を調べています。

http://kem3.com/esrp/lecture/pdf/throw_friction.pdf

　ウォルター先生の最後の問いかけについては、浮力などは考えないとして単純化した答えならば、以下の感じでしょうか。

　最高高度到達の前後で、真空中では完全に対称で、空気中では非対称ということがあります。

　それは空気抵抗のためですが、空気抵抗は必ず進もうとする方向に対して、反対向きに働きます。

　水平方向は減速するだけです。垂直方向は、到達高度を下げるため、最高高度到達までの時間を短くします。そこから空気抵抗がある落下と考えれば、今度は真空中より遅く落下します。

　したがって、空気中では落下を始めるまでは短い時間となり、落下に入ってからは長い時間となります。その効果を足し合わせれば、……計算は省略して逃げます（ずざざざざ）。

お礼

なるほど、上昇中と下降中で分けて考えるとイメージしやすいですね。なんとなくわかった気になりました。有難うございます。

回答No.2

noname#175206

宿題にしたのは、大変に長い考察になるからです。以下、どちらが滞空時間が長いかは申しません。

　滞空時間ですから、考えやすいように単純化して、垂直に投げ上げたとしてみましょう。

　まず、極端な場合を考えてみましょう。大変に密度が大きく、ある程度の大きさがあって、従って質量も大きな物が考えやすいでしょう。計算するなら、球がいいでしょうね。

　これは、密度が大きくなるほど、真空と空気中で差がなくなってきます。それでも空気中では、投げ上げるときは最高到達高度を下げて滞空時間を短く、落下に移ってからは逆に自由落下に逆らうために滞空時間を長くする効果になります。

　もし空気中でなく、水中で極めて粘性抵抗が大きいなら（ついでに言えば、ほとんど常に速度の2乗に比例）、極めて低い高度になるでしょう。

　今度は、どんどん密度を小さくします。すると、別の要素を考える必要が出てくることに気が付きます。空気の浮力ですね。極端に軽くして、ヘリウム風船ともなれば、落ちてきません。水中であれば、水より密度が小さければ浮くのと同じです。

　球でないならどうか。真空中なら形状は無関係です。今度は斜めに打ち出すとしてみます。極端な例では、よくできた紙飛行機なら、かなりの滞空時間となってきます。

　球に近いもので野球のボールだと、それが回転するとどうなるか。野球でのピッチャーが投げる直球は、バックスピンがかかっているため、真空中とした場合より、滞空時間は長くなります（落下までの距離も伸びる）。

　もし、ウォルター先生が最初に触れたような、球でのシンプルな例を述べても、微分方程式を立てて解くことになり、結構長いです。そこへ、密度と大きさの種々の条件を考慮して、場合分けする必要がでてきます。

　これだけでも、弾道学という軍事でも重要だった研究分野になります。その軌道を「ナイルの曲線」と呼んだりします。

　さらに浮力、あるいは形状、もしくは回転といったことを考え出すと、もうキリがないくらい膨大で長い考察になります。

　宿題にして、さっさと逃げたのも、もっともなことではないかと思います。

お礼

有り難うございます。なるほどです。上記の内容を是非、方程式を交えてといいたいところですが、やっぱり大変ですよね。手書きの紙を添付していただいても…とか、図々しすぎてすみません。もしお暇ならお願いします。

補足

最後の言葉を貼付けます。

I want you to think about it and I want you to be able to give an answer with total, 100% confidence.

When this object goes from O to P, that takes a certain amount of time.

When it goes from P to S, back to the ground, that takes also a certain amount of time.

Is this time the same as this time? Or is this time longer than this time, or is this time shorter? Think about it.

See you Friday.

回答No.1

shsst14

49分の講義を聴くのは面倒なので、投げ上げの場合を簡単に表計算してみました。
ファイルが添付できれば簡単なのですが、できないので結果だけを。

摩擦抵抗が大きくなると、早く落ちます。

微分方程式を書いてもいいのですが、表計算なら簡単なので試してみてください。
(1)初速度を決める
(2)重力加速度と摩擦係数を決める
(3)時間刻みを決める
(4)次の時刻での速度を計算する(前回速度に(2)の効果を加える)
(5)速度に基いて位置を計算する
(6)元の位置に戻るまでの時間がおおよその滞空時間

お礼

一応、y方向のみで微分方程式のような物をたててやっては見たのですが（短くなると出ましたが、自信なく…）、excelで数値計算って手がありましたね！ちょっとやってみます。有り難うございます。

補足

一応最後の言葉を貼付けます。

I want you to think about it and I want you to be able to give an answer with total, 100% confidence.

When this object goes from O to P, that takes a certain amount of time.

When it goes from P to S, back to the ground, that takes also a certain amount of time.

Is this time the same as this time? Or is this time longer than this time, or is this time shorter? Think about it.

See you Friday.