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空気抵抗がかかるときの落下運動

  • 暇なときにでも
  • 質問No.138373
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お礼率 25% (1/4)

空気抵抗がかかるときの落下運動、もしくは放物運動に
関しての質問です。

抵抗力が速度に比例する場合は、変数分離法を用いて微分
方程式を解くことができるのですが、
抵抗力が速度の2乗に比例する場合の微分方程式が解けませ
ん。具体的には次の式です。

ma = -kv^2 + mg
a:加速度 v:速度

この式の解法をよろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル5

ベストアンサー率 100% (1/1)

変形分離法でも出来ると思います。

mv' = mg - kv^2
m(dv/dt) = mg - kv^2
{1/(mg - kv^2)}dv = (1/m)dt
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt

左辺は部分分数分解を使って、積分すると、

log[{(√mg) + v(√k)} / {(√mg) - v(√k)}] = t/m + C (Cは積分定数)

これをvについて解くと、

v = (√mg/k)[(-1 + Aexp{2(√kg/m)t) / (1 + Aexp{2(√kg/m)t})] (A = exp(C))

となります。あとは初速度などの条件を入れて、Aを求めればvが求まります。
ちょっと積分の計算は自信がありませんので、答えは自分で求めてみてください。
こんなんでよろしいでしょうか?あまり得意な方でないので自信がありませんが…。
お礼コメント
adept

お礼率 25% (1/4)

この方法でできました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-09-24 16:13:08
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  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 16% (1/6)

これは、ベルヌイの微分方程式を使います。 y'+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(1) という式で考えます。 y^(1-n)=u・・・・・(2) とおく。 (2)を両辺微分してy'=(u'・y^n)/(1-n)・・・・・(3) (3)を(1)に代入。 (u'・y^n)/(1-n)+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(4) (4)の両辺をy^ ...続きを読む
これは、ベルヌイの微分方程式を使います。
y'+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(1)
という式で考えます。
y^(1-n)=u・・・・・(2)
とおく。
(2)を両辺微分してy'=(u'・y^n)/(1-n)・・・・・(3)
(3)を(1)に代入。
(u'・y^n)/(1-n)+P(x)y=Q(x)y^n・・・・・・(4)
(4)の両辺をy^nで割って、1-nをかけると、
u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)・・・・・・(5)
これで線形になり解けるようになります。

問題では加速度は速度の微分よりa=v'とおいて
(5)式においてP(x)=0、Q(x)=-k/m、
n=2よりv^(-1)=uとおけば解けます。

詳しくは微分方程式関係の本の中にベルヌイの微分方程式の解法が載っていると思うので参考にしてください。
補足コメント
adept

お礼率 25% (1/4)

おそれいりますが、式の形が違うのではないかと思います。
与式は
mv' = mg - kv^2
<-> v' = g - (k/m)v^2
で、定数項gが余計なんです。
ベルヌーイ方程式の解法を試してみますと、最後に-v^2で
両辺を割るところで、
gがあるためにv^2が復活してきてしまいます。
このあたりの処理方法をご教授下さい。
投稿日時 - 2001-09-20 14:24:47
  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

morisusu さんの書かれているように ベルヌイの微分方程式を使えば解けます。 まず、  v = y + √(mg/k)  v' = y' のようにシフトしましょう。 すると  mv' = mg - kv^2 ⇒my' = -ky^2 -2k√(mg/k)y のようになり、定数項が消えますね。 あとは、やってみて下さい。
morisusu さんの書かれているように
ベルヌイの微分方程式を使えば解けます。
まず、
 v = y + √(mg/k)
 v' = y'
のようにシフトしましょう。
すると
 mv' = mg - kv^2
⇒my' = -ky^2 -2k√(mg/k)y
のようになり、定数項が消えますね。

あとは、やってみて下さい。
  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

真面目にやると、そうか、ベルヌーイの方程式に帰着されるんですね。 stomachmanの場合、ズルしてます。 f' =1- f^2 の解は f(t)=tanh(t) あとは係数と初期値の辻褄を合わせます。つまり v(t) = A f(Bt)+C として、もとの方程式および初期値に合うようにA,B,Cを決める。
真面目にやると、そうか、ベルヌーイの方程式に帰着されるんですね。

stomachmanの場合、ズルしてます。
f' =1- f^2
の解は
f(t)=tanh(t)
あとは係数と初期値の辻褄を合わせます。つまり
v(t) = A f(Bt)+C
として、もとの方程式および初期値に合うようにA,B,Cを決める。
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