夜も眠れぬ1+2+3+4・・・=-1/12
- 夜も眠れぬ1+2+3+4・・・はなぜ-1/12となるのか納得ができない
- ζ(-1)の定義と1+2+3+4+・・・が一致しないことに疑問を持つ
- 新しい計算上のルールが追加された可能性について考える
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夜も眠れぬ1+2+3+4・・・=-1/12
一応、理系の大卒ですが、数十年経った今は、せいぜい高卒並みのレベルしかありません。 表題のことについて、 φ(0)=-ζ(0),φ(-1)=-3ζ(-1),φ(-2)=-7ζ(-2),φ(-3)=-15ζ(-3) また， f(x)=1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x) g(x)=xdf(x)/dx=x+2x^2+3x^3+4x^4+・・・=x/(1-x)^2 h(x)=xdg(x)/dx=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+・・・=x(1+x)/(1-x)^2 より f(-1)=φ(0)=1/2,g(-1)=-φ(-1)=-1/4,h(-1)=-φ(-2)=0 これから ζ(0)=-1/2,ζ(-1)=-1/12,ζ(-2)=0,・・・ となる． ↑ 「解析接続」とかいって、よく上記のような説明がなされていますが、数式を追っていけば確かにそうかも知れませんが、やはり何故、 1+2+3+4+・・・=-1/12 となるのか納得ができません。「ζ(-1)というのは1+2+3+4+・・・である」と定義しておきながら「ζ(-1)というのは1+2+3+4+・・・ではない」と言っているようなものですよねぇ。一体どっちを信じろと。 想像するに、実数の世界から複素数の世界に範囲を広げることでそういうふうになるんでしょうけれども、ということは、なにか新しい計算上のルールが追加されたと思うんですよね。それにしても、ζ(-1+ti)とかでなくζ(-1)なんだから、虚数の入り込む話ではないと思っちゃうんですよね、素人は。 そのルールとは言葉だけで説明するとどういうことになるのでしょうか。そのルールを知らない私にとっては、1+2+3+4・・・・は、いつまでたっても「無限大」でしかあり得ません。数式の羅列での解説は不要です。根源となっている「新ルール」を知りたいのです。「無限大」と見えるものが「有限」となってしまった原因となる「約束事」を知りたいのです。現在、私には知らされていません。 ちなみに、私はいま、ある読み物により、「リーマン予想」の命題の意味がようやく理解できたところです。
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＞ 1より小さいところでは、ゼータ関数というのは ＞ 1+(2のs乗分の1)+(3のs乗分の1)+(4のs乗分の1)+・・・・ ＞ ではないってことでしょうか。 大正解。リーマンのゼータ関数とは、 複素数 s の実部が 1 より大きい範囲では ζ(s) = Σ[n=1→∞] 1/n^s と書き表される 複素有理型関数のことです。 s の実部が 1 以下の範囲(実数 s≦1 を含む)では、 級数 Σ[n=1→∞] 1/n^s が収束しないので、 ζ(s) = Σ[n=1→∞] 1/n^s は成立しません。 1+2+3+4+… に関する与太話は、リーマン予想とは あまり関係がない様に思いますよ。
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- Water_5
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そうですか。 幽霊の正体みたり枯れすすき。 私より、詳しい貴方がそういうのであれば、そうなのでしょう。 私には、反論する知識がありませんので。
補足
>私より、詳しい貴方が とんでもない。
- Water_5
- ベストアンサー率17% (56/314)
その参考URLいいですね。 私なんかも ζ(-1)＝1+2+3+4・・・=-1/12 わかりません。 ただイメージとしては＃３の回答のとおりです。
お礼
高校レベルの私には、#3の事柄をイメージすることは困難のようです。 それよりも、とにかく「式」が別なんだ、ということで納得です。 「1+2+3+4+・・」だの「-1/12」だの言う前に、ζ(s)を明確に示さなければなりません。Re(s)>1での式を、あたかもRe(s)<1でも成り立つかのように騙しているところが（それを知らされてしまえば）なんともバカバカしい。議論するのもバカバカしい。そもそも議論にならない事柄であります。
- Water_5
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証明も何も、ｓ＝１では変な値になって 成立しない。 成立すると思うから、夜も眠れないのでは？ そもそも、成立するとは誰が言ったの？ リーマン先生ですか？ もしそうなら、リーマンも筆の誤りデスナ。
お礼
数年前、某メディアが粗末なインチキ記事を掲載したのが発端かと。 そう、それ以外、誰も言っていないことに気がつきました。 リーマン予想でいうところのゼータ関数は、Re(s)=1を除く複素平面上のあらゆる範囲を定義域とする大変複雑なかたちをしておる式なのですが、Re(s)>1の範囲であれば、シグマ（nのマイナスs乗）という高校生でもイメージできそうな単純な形で表現できる、ということ、かなぁ。 今夜はグッスリ眠れそう。 それにつけても数年前の某メディア。人心を不当に惑わすつまらん与太記事を書きおって。お粗末極まりないですなぁ。
補足
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/810.pdf ↑ もっと深いことを考えてる執念深い人がいるんですねぇ。 しかし頭にくるなぁ。おいら生誕300年のA社の特集記事。いいかげんな記事を載せやがって。
- Water_5
- ベストアンサー率17% (56/314)
ζ(s)はRes(s)＞１で成立。 Res(s)≦１では不成立。 Res(s)＞１で成立する証明はあると思うよ。 したがってRes(s)≦１では不成立。」の証明もあると思うよ。 ぜひ、 夜も眠れぬ証明を考えてみよう。
お礼
証明を考えるのは私には無理です。それこそ一生眠れません。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
解析接続など持ち出さなくても… 御馴染のテイラー展開でも、級数展開には有効範囲があって、 ひとつの級数表示が全複素平面で有効とは限りませんね。 例えば、1/(1-x) = Σ[k=0→∞] x^k という展開は、 |x|<1 の範囲でだけ有効であり、左辺には x=2 でも x=-3 でも 代入できるけれど、右辺は収束しません。 ゼータ関数も、ζ(s) = Σ[n=1→∞] 1/n^s と書けるのは Re(s)>1 の範囲だけであって、この等式には s=1 は代入できないのです。 左辺には s=-1 が代入できて ζ(-1)=-1/12 ですが、 右辺が収束しませんから。 ゼータ関数を使って 1+2+3+4+… = -1/12 だというのは、 1/(1-x) = Σ[k=0→∞] x^k より 1-2+4-8+… = 1/3 だというのと 同種の間違いです。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 『ご説明冒頭～この等式には s=1 は代入できないのです。』 まではよく理解できるのですが、 『左辺には s=-1 が代入できて ζ(-1)=-1/12 ですが、右辺が収束しませんから。』 の部分が私には解釈不能です。 『ゼータ関数を使って 1+2+3+4+… = -1/12 だというのは、』 ↑ ということは、1より小さいところでは、ゼータ関数というのは1+(2のs乗分の1)+(3のs乗分の1)+(4のs乗分の1)+・・・・ではないってことでしょうか。そういう定義なら話は別です。仕切り直しです。それならマイナスにもなりましょう。
- Water_5
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地球を想定して欲しい。 赤道に直角に北極目指して北上する。 北極点に達してももっと直進すると今度は南下を はじめる。 そして元の地点（０点）に戻る。つまり地球を一周したことになる。 つまりこれが無限大です。 ところが、可付番無限集合はゼロ点に少し手前の”-1/12” に到達する。 連続体無限集合は”-1/120”地点に到達する。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 とにかく1に2を足し3を足し・・・してゆくことからスタートするわけですよね。その合計の究極がマイナスとなるということがどうしても納得できません。どこか私の知らないところで四則演算のルールを勝手に変えているとしか思われません。 それともζ(-1)ってのは、1に2を足し3を足し・・・ということではないということでしょうか。
- Water_5
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＞1+2+3+4+・・・=-1/12 1+2+3+4+・・・=∞だったと思う。 可付番無限集合だったと思う。 ∞と言っても、それはほとんど”わかりません。”と言っているようなものです。 -1/12は幽霊の左足だけはクッキリ確認したぞ。と言うことのようです。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 ゼーター関数における"変数s"には、「1より大」という条件は付いていませんよねぇ。 >幽霊の左足だけは・・・ 発想力の乏しい私には難しいヒントでして・・。
- Water_5
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1+2+3+4+・・・=-1/12 どうして、こうなるのですか？ 正の数が何故負数になるのですか？
補足
>どうして、こうなるのですか？ わかりません。 正しくは、『"1+2+3+4+・・・"=-1/12』と表記することもあるようです。『"1+2+3+4+・・・"』は、「所謂おいらの1足す2足す3足す4足す・・・」ってことかしらね。
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- 数学・算数
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 >大正解。 ↑ な～んだ、それだけのことだったのですか。時間の無駄でした。 『ゼータ関数は、1より小さいところでは（複素数を用いた）全く別の式になる』、というだけのことですね。結局、私がゼータ関数の定義を正確に把握していなかっただけです。「夜も眠れない」話では全くなかった、ということですね。巷に散乱している講釈には、そういう素人わかりする一言（注釈）が抜けてるんですなぁ。
補足
要するに、S=1を境にして左右で定義式が異なるので、そもそも表題のような疑問は存在しない、ということなんですよね。 しかしながら、両定義式を総称して「ゼータ関数」というわけですので、両者はまるで縁もゆかりもない式ではないはずですよね。1より左の式はかなり複雑怪奇の様相と察しますが、1より右の式の面影（DNA）は引きずっているものと推察します。その辺のカラクリは、私には到底理解できそうにありません。いずれにしても、ζ(-1)の第2項が決して「2」などと定義されていない、ということが分かっただけで十分です。