熱伝導方程式の解き方と考え方
- 熱伝導方程式について大学で出題された問題の解き方や考え方について教えてください。
- 与えられた熱伝導方程式の境界条件を満たす解を求める方法を教えてください。
- 熱伝導方程式の解析解を求める手順について教えてください。
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応用数学、熱伝導方程式について
大学でこのような問題がでたのですが、解き方や考え方を教えて下さい。 問、次の方程式の解を求めよ。 ∂u/∂t = 2 ((∂^2 u)/ (∂x^2))・・・(1) (0＜x＜2, t>0) u(0,t)=u(2,t)=0・・・(2), u(x,0)=5 sin 2πx - 3 sin 5πx・・・(3) 以下は自分でといた過程です。 (1)より X(x)*T'(t)=2*X"(x)*T(t) T'(t)/T(t) = 2X"(x)/X(x)=Κと置く。 これより T' - ΚT=0・・・(4) 2X" - ΚX = 0・・・(5) (Κ<0) (5)の解はΚ<0より X = A cos(√(-Κ/2))x +B sin(√(-Κ/2))x ・・・(6)(A,Bは任意定数) 境界条件(2)より X(0)=X(2)=0・・・(7) (T(t)は0ではない) よって(6)、(7)より A =0, Κ= -(n^2*π^2)/2 X=B sin(nπ/√2)x (4)よりT' = ΚT ↓ T = D e ^(-(n^2 * π^2)/2)t (Dは任意定数) 次に偏微分方程式の解を求める。 →ここから先が全くわかりません。 正しい答えは5e^(-8(π^2)t)2πx - 3e^(-50(π^2)t)sin5πxになります。
- tki-
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境界条件から、tを固定するとuをxについての周期2の周期関数の [0,2]への制限とみることができるので、フーリエ級数を使って処理 するのがいいと思います。 u(x,t)=Σ[n=0→∞]c_n(t)e^(inπx) とおいて、方程式に当てはめて係数（tの関数）を計算してみてください。
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訂正です。失礼しました。 u(x,t)=Σ[n=0→∞]c_n(t)e^(inπx) ↓ u(x,t)=Σ[n=-∞→∞]c_n(t)e^(inπx)
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