大至急お願いします！応用数学の問題がわからないです

質問

大至急お願いします！応用数学の問題がわからないです！

応用数学の問題がわからないです！
問題１）y=sin⇔x=arcsiny y=cosx⇔arcsinyで表されるとき
(1)arcsinx,arccosx,arctanxを対数関数を用いて表せ
(2)(1)で得られた結果を用いてd/dxarcsinx,d/dxarccosx,d/dxarctanxを計算せよ

問題２）(1)Σ(N,n=0)e^inθ Σ(N,n=0)e^-inθを求めよ
(2)上の結果を使ってΣ(N,n=0)cosnθ Σ(N,n=0)sinnθを求めよ。結果は
sin1/2θ,cosθ,sinθ,sin(N+1)θ,cos(N+1)θを使って表せ

問題３）d^2X(t)/dt^2=-k/mX(t)の微分方程式を次の手順で解け
(1)X(t)=X0e^λtとおき、これを代入してλの2つの解を求めよ
(2)X(t)=X0(1)e^λ1t+X0(2)eλ2tが解になっていることを示せ
(3)t=0のときX(t=0）=X0 dx(t)/dt|(t=0)=V0である解を求めよ

一人で考えたのですがまったくわからなかったです。宿題でだされたのですがまったくできなかったので詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

1)

(1)

arcsin(x)=yとおくと，-π/2≦y≦π/2，-1≦x≦1

x=sin(y)

e^{iy}=cos(y)+isin(y)=√(1-x^2)+ix

y=-iLog(√(1-x^2)+ix)

arcsin(x)=-iLog(√(1-x^2)+ix)（答）

arccos(x)=yとおくと，0≦y≦π，-1≦x≦1

x=cos(y)

e^{iy}=cos(y)+isin(y)=x+i√(1-x^2)

y=-iLog(x+i√(1-x^2))（答）

arccos(x)=-iLog(x+i√(1-x^2))

(2)

d{arcsin(x)}/dx=-i(√(1-x^2)+ix)'/(√(1-x^2)+ix)

=-i((-2x)/2√(1-x^2)+i)/(√(1-x^2)+ix)

=((ix)/√(1-x^2)+1)/(√(1-x^2)+ix)

=(ix+√(1-x^2))/{√(1-x^2)(√(1-x^2)+ix)}

=1/√(1-x^2)

d{arcsin(x)}/dx=1/√(1-x^2)（答）

d{arccos(x)}/dx=-i(x+i√(1-x^2))'/(x+i√(1-x^2))

=-i(1-ix/√(1-x^2))/(x+i√(1-x^2))

=-i(√(1-x^2)-ix)/{√(1-x^2)(x+i√(1-x^2))}

=(-i√(1-x^2)-x)/{√(1-x^2)(x+i√(1-x^2))}

=-(x+i√(1-x^2))/{√(1-x^2)(x+i√(1-x^2))}

=-1/{√(1-x^2)

d{arccos(x)}/dx=-1/{√(1-x^2)（答）

2)

(1)

e^{iθ}=1のとき

Σ_{n=0}^Ne^{inθ}=N+1（答）

e^{iθ}≠1のとき

Σ_{n=0}^Ne^{inθ}=(1-e^{i(N+1)θ})/(1-e^{iθ})（答）

上の結果でθ→-θとすると

e^{-iθ}=1すなわちe^{iθ}=1のとき

Σ_{n=0}^Ne^{-inθ}=N+1（答）

e^{-iθ}≠1すなわちe^{iθ}≠1のとき

Σ_{n=0}^Ne^{-inθ}=(1-e^{-i(N+1)θ})/(1-e^{-iθ})（答）

(2)

Σ_{n=0}^Ncos(nθ)=(1/2)Σ_{n=0}^Ne^{inθ}+(1/2)Σ_{n=0}^Ne^{-inθ}

e^{iθ}≠1のとき

Σ_{n=0}^Ncos(nθ)=(e^{i(N+1)θ-1})/{2(e^{iθ}-1)}+(1-e^{-i(N+1)θ})/{2(1-e^{-iθ})}

=e^{i(N+1)θ/2}(e^{i(N+1)θ/2}-e^{-i(N+1)θ/2})/{2e^{iθ/2}(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})}+e^{-i(N+1)θ/2}(e^{i(N+1)θ/2}-e^{-i(N+1)θ/2})/{2e^{-iθ/2}(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})}

=e^{iNθ/2}(2isin{(N+1)θ/2}/{4isin(θ/2)}+e^{-iNθ/2}(2isin{(N+1)θ/2)}/{4isin(θ/2)}

=e^{iNθ/2}[sin{(N+1)θ/2}/{2sin(θ/2)}]+e^{-iNθ/2}[sin{(N+1)θ/2)/{2sin(θ/2)}]
={(e^{iNθ/2}+e^{-iNθ/2})/2}sin{(N+1)θ/2}/sin(θ/2)

=cos(Nθ/2)sin{(N+1)θ/2}/sin(θ/2)

この式でe^{iθ}→1すなわちθ→0(mod 2π)とするとき，N+1となる．よってe^{iθ}=1のときはその極限で定義する．

Σ_{n=0}^Ncos(nθ)=cos(Nθ/2)sin{(N+1)θ/2}/sin(θ/2)（答）

Σ_{n=0}^Nsin(nθ)={1/(2i)}Σ_{n=0}^Ne^{inθ}-{1/(2i)}Σ_{n=0}^Ne^{-inθ}

e^{iθ}≠1のとき

Σ_{n=0}^Nsin(nθ)=(e^{i(N+1)θ-1})/{2i(e^{iθ}-1)}-(1-e^{-i(N+1)θ})/{2i(1-e^{-iθ})}

=e^{i(N+1)θ/2}(e^{i(N+1)θ/2}-e^{-i(N+1)θ/2})/{2ie^{iθ/2}(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})}-e^{-i(N+1)θ/2}(e^{i(N+1)θ/2}-e^{-i(N+1)θ/2})/{2ie^{-iθ/2}(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})}

=e^{iNθ/2}(2isin{(N+1)θ/2}/{-4sin(θ/2)}-e^{-iNθ/2}(2isin{(N+1)θ/2)}/{-4sin(θ/2)}

=e^{iNθ/2}[sin{(N+1)θ/2}/{2isin(θ/2)}]-e^{-iNθ/2}[sin{(N+1)θ/2)/{2isin(θ/2)}]
={(e^{iNθ/2}-e^{-iNθ/2})/(2i)}{sin{(N+1)θ/2}}/sin(θ/2)

=sin(Nθ/2)sin{(N+1)θ/2}/sin(θ/2)

この式でe^{iθ}→1すなわちθ→0(mod 2π)とするとき，0となる．よってe^{iθ}=1のときはその極限で定義する．

Σ_{n=0}^Nsin(nθ)=sin(Nθ/2)sin{(N+1)θ/2}/sin(θ/2)

3)

(1)X_0を省略すると，

λ^2=-(k/m)∴λ=±i√(k/m)

(2)微分演算の線形性より明らか．つまりΣをm=1,2に関する和として

{(d^2/dt^2)+(k/m)}(ΣX_0(m)e^{λ_mt})

=ΣX_0(m)[d^2e^{λ_mt}/dt^2)+(k/m)e^{λ_mt}]

=ΣX_0(m)(λ_m^2+k/m)e^{λ_mt}

=ΣX_0(m)(0)e^{λ_mt}=0

(3)X_0(1)=(A-iB)/2,X_0(2)=(A+iB)/2とおく．また，

ω=√(k/m)

とおくと，

X(t)=(A-iB)e^{iωt}/2+(A+iB)e^{-iωt}/2

=Acos(ωt)+Bsin(ωt)

dX(t)/dt=ω(-Asin(ωt)+Bcos(ωt))

よって

A=X_0,ωB=V_0

から，

X(t)=X_0cos{√(k/m)t}+√(m/k)V_0sin{√(k/m)t}(答)

回答No.3

rnakamra

#2のものです。
訂正を。

e^(ix)=tとでもおくと、y=sinxは
y=(t+1/t)/(2i)

これは
y=(t-1/t)/(2i)
の間違いです。

回答No.2

rnakamra

1)これはsinx={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i),cosx={e^(ix)+e^(-ix)}/2の関係式を使います。
e^(ix)=tとでもおくと、y=sinxは
y=(t+1/t)/(2i)
となります。これをtについて解きましょう。両辺をt倍して整理すればtの2次方程式が得られます。解の公式で簡単に解けます。後は両辺の対数をとる。
以下略

2)
(1)これは単なる等比数列の和。e^(iθ)=1の場合とそうでない場合に分けて解けばよいでしょう。
以下略

3)
ここまでヒントが出ているのでですから実際に式に入れて見ればよい。

回答No.1

noname#171951

＞問題１）

問題文がおかしいです。
落ち着いて見なおしてください。

＞問題２）

(1)はどちらも等比数列。
(2)はオイラーの公式（xが実数のときe^(ix)=cosx+isinx）を使う。

＞問題３）

ばねの方程式ですね。
教科書に載ってますよ。