偏微分方程式の問題です。

質問

・問題

u=u(t,x)
u_t=ku_｛xx｝
k＞0
(0＜x＜1,t＞0)

初期条件 u(0,x) sin(πx)+1/2sin(3πx)
境界条件 u(t,0)=u(t,1)=0

・答え

境界条件より正弦級数展開をする．

（☆）u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(t)sin(nπx)

（★）b_n(t)=2∫_0^1u(t,x)sin(nπx)dx

すると，

u_t=Σ_{n=1}^∞{db_n(t)/dt}sin(nπx)

ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2

=Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx)

u_t=ku_{xx}より

db_n(t)/dt=b_n(t)k(-nπ)^2=-n^2π^2kb_n(t)

∴b_n(t)=b_n(0)e^{-n^2π^2kt}

☆に代入して

（☆☆）u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)e^{-n^2π^2kt}sin(nπx)

∴u(0,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)sin(nπx)

これと初期条件u(0,x)=sin(πx)+(1/2)sin(3πx)を係数比較して

b_1(0)=1,b_3(0)=1/2,b_n(0)=0(n≠1,3)

☆☆に代入して

∴u(t,x)=e^{-π^2kt}sin(πx)+(1/2)e^{-9π^2kt}sin(3πx)（答）

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以前、上記の問題をここで質問し、解答を頂いたのですが、この部分の途中式がどうしてもわかりません。

ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2

=Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx)

お手数ですが宜しくお願い致します！

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

以前回答したものです．

>ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2

>=Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx)

この1行目の右辺にkがかかるところを抜かしていました．

ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)kd^2{sin(nπx)}/dx^2

となります．失礼しました．

お礼

何度もすみません。ありがとうございました！