旅人算の問題

質問

周囲７．２ｋｍの池の周りをＡとＢがマラソンをしている。Ａが出発した５分後にＢが同じ方向に出発、４分後にＢがＡをはじめて追い越し、Ａが１周して出発点に到着するのとＢが２周して出発点に到着するのが同時だったとすると、ＢがＡを初めて追い越したのは何ｋｍの地点か。但し、ＡとＢは一定速度で走ったとする。

答　１．４４ｋｍ

解き方がわかりません。ＡとＢの速度の差のあてはめ方がわからず、解答にたどり着けません。解き方をよろしくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

BがAを初めて追い越したとき、Aは9分、Bは4分走っていた。
よって、両者の速さの比はA : B = 4 : 9である。
Aが池の1周である7.2kmを走る間に、Bは16.2km走ることができる。
ところが、実際にはBは5分遅れでスタートしたので、14.4kmしか走れなかった。
よって、Bは5分間に16.2 - 14.4 = 1.8km走ることができるので、
Bの速さは1.8 ÷ 5 = 0.36km/分である。
A : B = 4 : 9であるから、Aの速さは0.36 ÷ 9 × 4 = 0.16km/分である。
BがAを初めて追い越したときAは9分走っていたから、
その距離は0.16 × 9 = 1.44kmである。

お礼

ありがとうございます。ＡとＢの速さの関係がよくわかりました。

回答No.3

asuncion

よく考えたら、A君の速さを求める必要はないですね。

Bの速さは1.8 ÷ 5 = 0.36km/分である。
BがAを初めて追い越したときBは4分走っていたから、
その距離は0.36 × 4 = 1.44kmである。
で十分でした。

回答No.1

KEIS050162

小学校で習うものだと思いますが、連立方程式を使わないでこれを解くって、やはり小学校の算数ってすごいですね。

図を添付してみました。

縦軸が距離で、横軸が時間を表します。青線がＡくん、赤線がＢくんです。Ａくんが走った距離は一周分なので７．２ｋｍとなります。
Ｂくんは５分遅れて走り始めますが、便宜上、５分後方から走り始めたとすると分かりやすいと思いましたので、図もその様にしてみました。

図に黄色と緑の三角を図示しましたが、これは相似の関係になります。

以下が解法の説明になります。

この図から、Ａくんが追いつかれた時、Ａくんが走った距離と、Ｂくんが走った（５分間走り続けたとして）距離の比は、４：９になることが分かります。
従って、ＡくんとＢくんの速さの比が４：９となります。

Ａくんが７．２ｋｍ走る間に、Ｂくんは２周とＢくんが５分間走る分だけの距離を走ることになります。また、速度の比から、同じ時間に走った距離の比が４：９になります。

このことから、Ｂくんが５分間走る距離は、Ａくんが走った距離（すなわち７．２ｋｍ）を９／４倍して、池２周の距離を引くことによって求められます。

７．２　÷　４　×　５　－　７．２　×　２　＝　１．８ｋｍ

ＢくんがＡくんに追いついた距離と、この１．８ｋｍの関係は、黄色と緑色の三角形が相似なので、

１．８　÷　５　×　４　＝　１．４４ｋｍ

で求めることが出来ます。

もっとスマートな方法もあるかも知れませんが、解き方のひとつとして参考にしてください。

お礼

図で解説していただいてありがとうございます。グラフ中の三角形の相似の関係は長らく忘れておりました。ありがとうございます。