素数の定義

質問

素数とは，1とその数以外には約数を持たない数ですが、１は１以外にどんな約数を持つのですか？√１ですか？

回答No.7

stomachman

●No.4 ranxさんのご意見に賛成です。

●No.6でご紹介のHPにある：「１より大きい整数のうち，１と自分自身以外の整数では割り切れないような整数を素数といいます」
というのがホントに素数の定義なら、全ての整数nは素数ではありません。なぜなら、
nが1より大きくない整数なら、定義により、素数ではありません。
nが1より大きい整数であれば、nは1とnだけでなく、-1や-n（これらももちろん整数です）でも割り切れますから、定義により、素数ではありません。

●そこで、素直に手直しをして「0でも１でもない自然数のうち、1と自分自身以外の自然数では割り切れないような自然数を素数といいます」とやるのも方法でしょう。
でも、そもそも『なんで１が特別扱いなのか』というのがご質問なんですから、これでは答えられない。この問いに迫るには、やはり「素数」を整数に関して定義しなきゃいけないです。

●整数に限らない、もっといろんな集合におけるいろんな演算の性質を調べる分野を「代数学」と言います。それによると、「素元」は「環」という性質を持つ集合において定義できて、
(1)「素元」とは：どんなx,yについても「もし(x×y)がaで割り切れるなら、xがaで割り切れるか、またはyがaで割り切れる」が成り立つaを「素元」と言います。

そうしますと、（普通に言うところの）素数pは素元である。-pも素元である。また1や-1も素元です。

しかしこれだけでは使い道が少ない。やはり「素因数分解が丁度一通りだけ可能である」という性質（素元分解定理）が重要です。素元分解定理は「単項イデアル整域」という性質を持つ集合において証明される定理であり、もちろん整数も「単項イデアル整域」です。あと「正則元」と「同伴」、そして「素元分解」という言葉が必要になります。

(2)「正則元」とは：逆数を持つ元の事です。だから、整数では1と-1だけが正則元です。
(3)「同伴」とは：aがbで割り切れて、bがaで割り切れるとき、「aとbは同伴である」と言います。

ですから、8と-8は同伴です。一般に、aに正則元をかけ算するとaと同伴な元が得られます。

(4)「素元分解が可能」とは：ある元aに対して、a=p[1]×p[2]×…×p[n]となる、正則元ではない素元の集合{p[j] | j=1～n}が存在することです。
(5) 素元分解定理：
　単項イデアル整域（整数もその一種）において、零元（０）でも正則元（1と-1)でもない元の素元分解（素因数分解）は、同伴のもの(符号を変えた数）を同じとみなして、一意的に可能である。

ですから、6=2×3も6=-2×-3もそれぞれ素元分解であるが、2と-2は同伴、3と-3は同伴なので、同じ素元分解であるとみなす。
6=1×6は、右辺の1が正則元だから素元分解ではない。
1=-1×-1は、左辺の1が正則元だから、素元分解定理の対象外。しかも右辺の1は正則元だから、右辺は素元分解ではない。
0=0×7も、左辺の0が零元だから、素元分解定理の対象外。
と、このような事情になっています。

●話を整数に限って、(4)と(5)を素直に焼き直しますと、
(4') 素因数分解が可能とは、ある元aに対して、a=p[1]×p[2]×…×p[n]となる、-1でも1でもない素元の集合{p[j] | j=1～n}が存在することです。
(5') 素因数分解定理：
　整数において、0でも1でも-1でもない元の素因数分解は、符号を無視すると一意的に可能である。
ということになります。

●さてそこで、問題：
「(5'')『整数の素因数分解は必ず可能で、それはただ一通りである。』と言いたかったら、『素数』という言葉をどう定義しておけば良いか」
を考えます。

残念ながら、素因数分解は0,1,-1には適用できません。ですから、
「(5''')『0でも1でも-1でもない整数について、その素因数分解は必ず可能で、それはただ一通りである。』と言いたかったら、『素数』という言葉をどう定義しておけば良いか」
を考えることにしましょう。

素因数分解は「-1でも1でもない素元の積への分解」なのだから、素数は素元であって、しかも1でも-1でもないことが必要です。　
負の整数も素因数分解できなきゃダメですが、同伴なんて概念を持ち出したくはない。でも、整数においては同伴とは単に符号を変えることであるから、再び問題をいじってしまう。

「(5''')『0でも1でも-1でもない整数nについて、|n|の素因数分解は必ず可能で、それはただ一通りである。』と言いたかったら、『素数』という言葉をどう定義しておけば良いか」

とやれば、ようやく答が見えてきます。

(1'') 素数とは：1でない正の整数aが、どんなx,yについても「もし(x×y)がaで割り切れるなら、xがaで割り切れるか、またはyがaで割り切れる」とき、aは素数であると言う。