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素数の問題です。
a,bを異なる素数とする。 (1)a*bの正の約数は何個あるか? またそれらの和はいくらか? (2)a^2*b^2の正の約数は何個あるか? (3)1225(=5^2*7^2)の正の約数全体の和はいくらか? (1)はaとbが約数となり、2個。 和はa+b (2)はa^2の約数が2個、b^2の約数が2個で、 合計4個の約数を2つずつ組み合わせて6通り。 4+6=10個。 と考えたのですが、合ってますか?? なんだか違うような気がして・・・。 (3)にいたっては、頑張って計算したら求められると思うのですが、 もっと簡単な方法があるような気がします。 ご回答、よろしくお願いします。
- stella01
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(1) a、b以外に1、a*bもありますので4つ。 例えばa=3、b=5の15の約数は1、3、5、15ですよね。 合計はa*b+a+b+1=(a+1)(b+1) (2) 約数は1、a、a^2、b、a*b、a^2*b、b^2、a*b^2、a^2*b^2の9個。 実を言うと、これはa^p*b^q(pもqも0、1、2のいずれか)と表すことができます。 (a^0*b^0=1、a^1*b^0=a、a^2*b^0=a^2、a^0*b^1=b、a^1*b^1=a*b、a^2*b^1=a^2*b、a^0*b^2=b^2、a^1*b^2=a*b^2、a^2*b^2=a^2*b^2) つまり、これら約数の合計は(a^0+a^1+a^2)(b^0+b^1+b^2)=(1+a+a^2)(1+b+b^2)と表せます。 (3) これを利用して1225の約数の合計は(1+5+25)(1+7+49)=31*57=1767となります。
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- kishiura
- ベストアンサー率21% (15/71)
1.1とa*b自身も約数ですから4個です。 2.a^m*b^n を約数としたとき、m=0,1,2 n=0,1,2 の範囲を取れるので、3*3=9通りです。 3.は地道に出すしかありません。
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お礼
ありがとうございます!! (3)も解き方思い出しました!!
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お礼
丁寧にありがとうございました!!