重積分・累次積分の質問です。

質問

はじめまして。
元々文系だったのですが、必要に迫られて微分積分の勉強をすることになりました。
大学数学の積分について二問お聞きします。
質問は初めてなので、表記の仕方におかしい所があるかもしれませんが、よろしくお願いします。

∫∫D1/x^2dxdyにおいて、Dの範囲が1/x≦y≦x 1≦x≦２の場合と

∫∫Dxy^2dxdyにおいて、Dの範囲がx^2+y^2≦a^2 x≧0（a>0）とでは
値はどうなりますか？

それぞれ、答えはlog2-3/8、２/15かけるa^5だとわかっているのですが、
そこへいたるまでが全くわかりません。
初歩的な当てはめならできるのですが、範囲から図形を想像することが難しいです。
特に、重積分の範囲について0≦x≦1などの書き方なら処理の仕方が分かるのですが、
x+y≦１などになると全く分かりません。

高校数学は一応数３数Cまでやりましたが、正直忘れてしまっています。

できるだけ詳しく教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

static_puts · ベストアンサー

積分の計算はできるでしょうか。

まず、第1問についてですが、範囲は
1/x≦y≦x
1≦x≦２
ですから、単純に累次積分する(図形を無視する)のが良いでしょう。

∫_a^bで、aからbまでの積分を表すものとします。

単純に範囲を当てはめると
∫_1^2 ∫_(1/x)^x (1/x^2) dy dx
という式になるので、これを計算します。まず、内側の(yに関する)積分です。
∫_(1/x)^x (1/x^2) dy=[y/x^2]_(1/x)^x
です(yで積分していますからね！)

代入して計算すると
1/x-1/x^3
となります。

これをさらにxで積分。
∫_1^2 (1/x-1/x^3) dx
を計算するわけです。

1/xの積分は覚えておいて下さい。ln(x)です(ln:natural logarithm, eを底とした対数)
1/x^3の積分はx^(-3)と見れば簡単で、-1/(2x^2)となります。

よって、
∫_1^2 (1/x-1/x^3) dx = [ln(x)+1/(2x^2)]_1^2
=ln(2)+1/8-(ln(1)+1/2)
=ln(2)-3/8
となります。

以上、第1問でした。

第2問は範囲を見てみますと
x^2+y^2≦a^2：円領域
x≧0（a>0）：右側半分
ですから、半円の領域であると言う事が分かると思います。
したがって、極座標を用いると
0<=r<=a
-π/2<=θ<=π/2
です。(極座標については後に補遺をつけておきます)

x=rcosθ,y=rsinθであることを考えて変数変換しましょう。
∫∫Dxy^2dxdy
=∫∫D r^4cosθsin^2θ drdθ
=∫_0^a ∫_(-π/2)^(π/2) r^4cosθsin^2θ dθ dr
=∫_(-π/2)^(π/2) cosθsin^2θ dθ ∫_0^a r^4 dr
となりますね。

この積分を計算しましょう。まずθについてですが
∫_(-π/2)^(π/2) cosθsin^2θ dθ
=∫_(-π/2)^(π/2) sin2θsinθ/2 dθ (倍角公式sin2θ=2sinθcosθを利用)
=∫_(-π/2)^(π/2) -(cos3θ-cosθ)/4 dθ(積和の公式)
=1/4 [sinθ-sin3θ/3]_(-π/2)^(π/2)
=1/4(1-(-1/3)-(-1-1/3))=2/3

rについてですが
∫_0^a r^4 dr=[(r^5)/5]_0^a
=a^5/5

以上より、
2a^5/15
となります。

一応、ざっとした計算を示しましたが、どうでしょうか。
理解できないところがある場合、教科書に戻られると良いと思いますよ。

※ 極座標について(補遺)
極座標は原点からの距離rと、始線(通常x軸の正の側)からの回転角θによって座標を表す方法です。二次元直行座標とは次のような関係があります。
r=sqrt(x^2+y^2) (sqrt:√)
θ=tan^(-1) (y/x)
逆に書けば
x=rcosθ
y=rsinθ
という関係になります。

一般に
dxdy=rdrdθ
が成立するので、変数変換の際にはこの公式を用います。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/2zyukyokuzahyou.html

お礼

皆様、わかりやすく素早い回答ありがとうございました。
反応が遅くなってしまってすいません。
とても助かりました！
どれもわかりやすかったのですが、一番はやく回答をくださった方をベストアンサーにしたいと思います。

簡単な微分積分ならできるのですが無理関数・円がまじるとまったくわかりません…。
参考書を読んでもよくわからないことが多いです。

やはりまだまだ勉強不足だとわかったので、これからもここで質問させていただくかもしれませんが、
もしよろしければその時はまたよろしくお願いします。

回答No.4

Water_5

条件から図形が描けたら、半分解けたようなものです。
つまり、図形を描くことが如何に重要かということです。

その図形を描くことは難しいのですが。
こればかりは訓練しかありません。

頑張ってください。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2にミスがありましたので訂正します。

>∫∫[D] 1/x^2dxdy、D={(x,y)|1/x≦y≦x 1≦x≦2}
>逐次積分に直すと
>=∫[1→2] (1/x^2)dx∫[1/x→x] dy
>yで積分すると
>=∫[1→2] (1/x^2)(x-1/x) dx
>=∫[1→2] (1/x)+(1/x^3) dx ×
正：=∫[1→2] (1/x)-(1/x^3) dx

>x(>0)で積分する。log()を自然対数として
>=[log(x)-(1/(2x^2))][1→2] ×
正：=[log(x)+(1/(2x^2))][1→2]

>=log(2)+3/8 ×
正：=log(2)-3/8

回答No.2

info22_

>範囲から図形を想像することが難しいです。
>特に、重積分の範囲について0≦x≦1などの書き方なら処理の仕方が分かるのですが、
>x+y≦１などになると全く分かりません。

重積分で体積を求める立体の図をそれぞれ図1と図2に描いてみましたので参考にしてください。
xを固定して、yで積分すると赤い線で囲った部分の面積が求まります。それをxの範囲でxで積分すれば
重積分した時の体積が求まります。

イメージは掴めましたでしょうか？
積分自体は、図のイメージの順にyで積分後、xで積分すればいいでしょう。

実際の計算は以下の通りです。

∫∫[D] 1/x^2dxdy、D={(x,y)|1/x≦y≦x 1≦x≦2}
逐次積分に直すと
=∫[1→2] (1/x^2)dx∫[1/x→x] dy
yで積分すると
=∫[1→2] (1/x^2)(x-1/x) dx
=∫[1→2] (1/x)+(1/x^3) dx
x(>0)で積分する。log()を自然対数として
=[log(x)-(1/(2x^2))][1→2]
=log(2)+3/8

∫∫[D] xy^2dxdy、D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2,x≧0} (a>0）
逐次積分に直すと
=2∫[0→a] xdx∫[0→√(a^2-x^2)] y^2 dy
yで積分すると
=2∫[0→a] xdx [(1/3)y^3][0→√(a^2-x^2)]
=(2/3)∫[0→a] x(a^2-x^2)^(3/2)dx
合成関数の積分公式を適用して
=(2/3)[-(1/5)(a^2-x^2)^(5/2)][0→a]
=(2/15)a^5