オームの法則

質問

図1で電子は静電気力だけを受けて加速され時間t0ごとに陽イオンに衝突して止まりまた加速され・・・を繰り返す
このときの平均の速さをvとして用いてオームの法則を導き抵抗率を求めe、m、n、t0で表せ

どうやって求めるのか教えてください
できたら丁寧にお願いします

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回答No.1

Quarks · ベストアンサー

陽イオンに衝突して速さ０になった電子が、一様電場によって時間ｔ0の間加速されて速さｕになった直後に、再び別の陽イオンと衝突して止まるという過程を考えてみます。電子が受ける静電気力は、一様電場からの力ですから、大きさ一定の力（つまりは加速度も一定）ということになり、電子の加速中の運動は等加速度直線運動だということになります。このことから、問題文の平均の速さｖは、単純な平均値として良いことがわかります。つまり
　ｖ＝(０+ｕ)/2=ｕ/2
と表されるはずです。
導体内の電子が加速されている間に進む長さｖ・ｔ0と同じ長さの導体を考えてみます。この幅での電位差Ｖ'は、一様電場ですから、電位差は長さに単純に比例しており
　Ｖ：Ｌ＝Ｖ'：(ｖ・ｔ0)
∴Ｖ'＝Ｖ・(ｖｔ0)/Ｌ
この電位差を受けた電子は、電場から仕事Ｗをされます。
　Ｗ＝ｅ・Ｖ'
この仕事は、静止していた電子が得る運動エネルギーＫ(=(1/2)ｍ・ｕ^2)になりますから
　(1/2)ｍ・ｕ^2＝ｅ・Ｖ'＝ｅ・Ｖ・(ｖｔ0)/Ｌ
∴ｕ＝√{２・ｅ・Ｖ・(ｖｔ0)/(ｍ・Ｌ)}
v=ｕ/2　に代入して整理すると
　ｖ＝(1/2)ｅ・Ｖ・ｔ0/(ｍ・Ｌ)

一方、導体を流れる電流は
　Ｉ＝ｎ・Ｓ・ｖ・ｅ
となることがわかっています※から、オームの法則　Ｖ＝Ｒ・Ｉ より
　Ｖ＝Ｒ・(ｎ・Ｓ・ｖ・ｅ)
更に抵抗率ρを用いて抵抗Ｒを表すと　Ｒ＝ρ・(Ｌ/Ｓ)　ですから
　Ｖ＝ρ・(Ｌ/Ｓ)・(ｎ・Ｓ・ｖ・ｅ)
　＝ρ・(Ｌ・ｎ・ｖ・ｅ)

これに、先に求めた式　ｖ＝(1/2)ｅ・Ｖ・ｔ0/(ｍ・Ｌ)　を代入して整理すると
　ρ＝…

※導体の任意の断面Ｓを考えます。速さｖで進む電子は、ｔの時間内に断面を通過できるためには、断面からｖ・ｔより近い位置に有ったものに限定されます。この範囲（Ｓ・ｖ・ｔ）内に有った電子は、電子個数密度ｎを用いて
　ｎ・Ｓ・ｖ・ｔ
個です。これらの電子がｔ[s]間に断面を通過するのですから、電流Ｉの定義から
　Ｉ＝(ｎ・Ｓ・ｖ・ｔ)・ｅ/ｔ
　＝ｎ・Ｓ・ｖ・ｅ

補足

Ｖ：Ｌ＝Ｖ'：(ｖ・ｔ0)
∴Ｖ'＝Ｖ・(ｖｔ0)/Ｌ
のＶはどの電位差のことですか？

回答No.4

Quarks

>ｕ＝√{２・ｅ・Ｖ・(ｖｔ0)/(ｍ・Ｌ)}
>v=ｕ/2　に代入して整理すると
>　ｖ＝(1/2)ｅ・Ｖ・ｔ0/(ｍ・Ｌ)
>とあるのですが、なぜｖになったら√が外れるの？

単なる式の変形です。代入しただけの式には、両辺に　ｖ　が残っているのが分かるはずです。
そして、√が邪魔なら、２乗してみるのが常套手段です。
ｖ＝ｕ/２　に代入した式の両辺を２乗してみましょう。
左辺には　ｖ^2　右辺には　ｖ　が残るので、約分すれば、示した式が得られます。

>一様電場ですから、電位差は長さに単純に比例

一様電場Ｅに置かれた電荷ｑは、一定の力Ｆを受けます。
　Ｆ＝ｑ・Ｅ
この力を受けて、電荷がＦの方向にＬだけ移動したとすると、電場から仕事Ｗをしてもらったことになります。　
　Ｗ＝Ｆ・Ｌ　
　＝ｑ・Ｅ・Ｌ

ところで、電位（電位差）とは、単位電荷を移動させるときに、どのくらいの仕事が必要かという量で表すことになっています。つまり、Ｐ，Ｑ間の電位差＝Ｖ[V]というのは、電荷ｑ[C]を運ぶときに
　Ｗ＝ｑ・Ｖ[J]
を要するということなのです。言い換えれば、
　Ｖ＝Ｗ/ｑ
ですから、電位とは、電荷を運ぶときにした仕事を、電荷で除した量として表されるわけです。
いま、話題にしている一様電場では、ｑ[C]を運ぶのにＷ＝ｑ・Ｅ・Ｌ[J]の仕事をするのですから、長さＬだけ離れた２点間の電位差（電圧）は
　Ｖ＝Ｗ/ｑ
　＝(ｑ・Ｅ・Ｌ)/ｑ
　＝Ｅ・Ｌ

　Ｖ＝Ｅ・Ｌ
Ｅが定数なら、これはＶとＬとが比例するという意味の式です。一様電場ですから当然
　Ｅ＝一定
ですから
　ＶはＬに比例する
わけです。

ちょっと、別の見方もあることを付け加えておきます。
空間に電荷が有ると、空間は電場となりますが、この電場のイメージは
正の電荷が有るところを頂点とする「山」、負の電荷が有るところを底とする「窪み＝谷」とするような、凹凸のイメージです。凹凸の傾斜が強いところでは、電荷は強い静電気力を受けますから、電場の強さが強く、傾斜が緩やかなところでは、電荷は弱い静電気力を受けますから、電場は弱いです。
つまり、凹凸の傾斜の強さが電場の強さと対応していると考えて良いのです。そして、この凹凸は、或る「高さ」を基準とすると、基準点よりも凸部では「高く」、凹部では「低い」のですね。この、基準となる高さよりもどのくらい「高い」かを表しているのが、電位なのです。
さて、一様電場とは、傾斜が一定の空間ですから、謂わば傾斜が一定の坂道のようなものをイメージすれば良いわけです。そして、坂道の各点の「高さ」が電位です。
坂道を横から見たら、横方向の距離と高さとは比例することは明らかですよね。つまり、距離と電位とは比例するのです。

お礼

分かりました
何度も詳しくありがとうございました

回答No.3

Quarks

>抵抗率ρを用いて抵抗Ｒを表すと　Ｒ＝ρ・(Ｌ/Ｓ)となるのはなぜ？

抵抗を、単純な形状（断面積Ｓ，長さＬの円筒）だとします。
両端に電圧Ｖを掛けると、内部には一様電場Ｅが生じると考えることができます。
　Ｅ＝Ｖ/Ｌ
です。
抵抗内の電子には、この電場による静電気力Ｆが掛かっています。
　Ｆ＝e・Ｅ＝ｅ・Ｖ/Ｌ
ところで、問題文の図のような状況下では、抵抗には一定の電流（＝定常電流）が流れています。これは、電流の担い手（キャリヤ）である電子が、一定速度で運動しているからに他なりません。
もし、電子が加速（または減速）しているなら、電流値が大きく（または小さく）なるはずで、一定の電流にはならないからです。
電子には静電気力が掛かっているのに、速度が一定（つまり、加速度＝０）となっているのは何故かといえば、静電気力を打ち消すような"抵抗力"ｆが掛かっていて、このｆがＦを打ち消しているからだと考えることができます。
ちょうど、上空から降ってくる雨粒が重力を受けながらも、やがては一定の速度になって落下してくるのは、空気からの抵抗力が重力を打ち消してしまうからで、抵抗力が速さに比例した大きさだからだというのとそっくりです。そこで、抵抗内を移動する電子に働く抵抗力を、電子の速さｖに比例する大きさだと仮定してみます。
　ｆ＝ｋ・ｖ
ここで、ｋは適当な比例定数です（この値は、抵抗がどのような材質でできているかに依存する量だと推測できます）。この抵抗力が静電気力Ｆを打ち消していると考えるのですから
　Ｆ＝ｆ
∴　ｅ・Ｖ/Ｌ＝ｋ・ｖ
が成立していることになります。これを変形すると
　ｖ＝(ｅ/ｋ)・(Ｖ/Ｌ)
ANo.1で議論しましたように、導体に流れる電流Ｉは
　Ｉ＝ｎ・Ｓ・ｖ・ｅ
と表されるのでしたから
　Ｉ＝ｎ・Ｓ・(ｅ^2/ｋ)・(Ｖ/Ｌ)
　＝{ｎ・e^2/ｋ}・(Ｓ/Ｌ)・Ｖ
と変形できます。さらに整理してみると
　Ｖ＝Ｉ・{k/(ｎ・ｅ^2)}・(Ｌ/Ｓ)
です。これは、オームの法則　Ｖ＝Ｉ・Ｒ　そのものになっていることに気付くでしょう。つまり
　Ｒ＝{k/(ｎ・ｅ^2)}・(Ｌ/Ｓ)
なのです。この{　}内の値は、導線の材質に依存する量で、これを抵抗率と呼び、ρと記すことにしましょう。すると、
　Ｒ＝ρ・(Ｌ/Ｓ)
と表現することができるわけです。
この式の意味は、抵抗の抵抗値Ｒは
(1)抵抗の形状に依存すること
　長さＬに比例し、断面積Ｓには反比例する
(2)らさに、もちろんのことでしょうが、抵抗を作っている材質にも依存すること
　ｋの正体は詳しくはわかりませんが抵抗の内部構造などで決まる量だろうということは推測できます。また、キャリヤの電荷ｅや、その個数密度ｎは、正に抵抗が何でできているかで決まる量です。
この２つの要因で決まる物理量なのだということです。

お礼

すみません、まだ質問があります
補足を使ってしまったのでこちらで質問させていただきます

ｕ＝√{２・ｅ・Ｖ・(ｖｔ0)/(ｍ・Ｌ)}
v=ｕ/2　に代入して整理すると
　ｖ＝(1/2)ｅ・Ｖ・ｔ0/(ｍ・Ｌ)
とあるのですが、なぜｖになったら√が外れるのですか？

補足

詳しくありがとうございました
No.1で
一様電場ですから、電位差は長さに単純に比例しており
とあるのですが、なぜですか？

回答No.2

Quarks

ANo.1です。

>　Ｖ：Ｌ＝Ｖ'：(ｖ・ｔ0)
>∴Ｖ'＝Ｖ・(ｖｔ0)/Ｌ
>のＶはどの電位差のこと？

　電源電圧（電池の電圧）
です。或いは同じことですが、
　導体の両端の電圧＝電位差
です。

なお、Ｌは導体の長さを表しています。"エル"は、小文字「ｌ」だと数字の「１」と区別し難いので、大文字で表記しておきました。

補足

分かりました
抵抗率ρを用いて抵抗Ｒを表すと　Ｒ＝ρ・(Ｌ/Ｓ)となるのはなぜですか？