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微分方程式の問題です
天井から円錐台(台形を半分に切り回転させた形)の鉄鋼製のケーブルがつりさげられている。先端からの距離をｘ、先端の断面積をSo、断面の半径ｒ、先端の断面の半径をｒ0、密度をｐ、重力加速度をｇとするとき、先端からｘのところの断面積はどのように変化させれば、引っ張り応力が常に同じになるか？という問題です。ちなみに、引っ張り応力＝下への引っ張り力/断面積で与えられます。 いろいろ考えてみたのですが、全く微分方程式が立てられません。教えてください。 よろしくお願いします
- dandandango
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- rnakamra
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#1のものです。 > 多分答えはS(x)=S(0)exp(pgx)ですね。合ってますか？？ 違います。 exp()の中の次元は無次元でなければなりませんが、この式を見る限り次元がないとは言えません。 #1の回答にある定数"c"の存在が消えてしまっています。この"c"がexp()の中に影響を与えます。質問分にある条件を見る限りこの"c"を決定することはできないと思われますので"c"はそのまま残ることになりそうです。
- rnakamra
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思いつく限りで二つの方法があります。 1.先端からxの断面にかかる引っ張り力/先端からxのところの断面積:一定 の関係を式にする。 先端からxのところの断面積をS(x)とすると、先端から0～xの部分の体積V(x)は V(x)=∫[0→x]S(z)dz となります。 先端から0～xの部分の質量はpV(x),その分の重量はpgV(x)です。 先端からxの断面にかかる引っ張り力/先端からxのところの断面積:一定の関係 を式にすると pgV(x)/S(x)=c → cS(x)=pgV(x)=pg∫[0→x]S(z)dz この式の両辺をxで微分してみましょう。 2.先端からx～x+δxの領域における力の釣り合いを考える 先端からx～x+δxの領域にかかる力は次の3つです。 a.先端からxの断面にかかる引っ張り力cS(x) b.先端からx+δxの断面にかかる引っ張り力cS(x+δx) c.その部分の領域にかかる重力pg*δx*{S(x)+S(x+δx)}/2 a,cが下向き、bが上向きでその力が釣り合っているのですから cS(x)+pg*δx*{S(x)+S(x+δx)}/2=cS(x+δx) cS(x)を移項してさらに両辺をδxで割ります。さらにδx→0とするとS(x)に関する微分方程式が得られるでしょう。
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