2階斉次線形微分方程式の解法とは？

質問

• x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の一般解は y = c_1x + c_2x log |x|
• x'とは微分方程式の解法において導入される変数であり、x' = dy_1/dx である
• P(x') = (-1/x') は微分方程式の条件であり、P(x) = - x の場合、x' = -1/xである

回答No.1

ereserve67

>式(3.9)
これがわかりません．想像するに以下のようです．

最初の方程式は線形ですが，係数が定数ではありません．一般に

（☆）y''+P(x)y'+Q(x)y=0（今の場合P(x)=-1/x,Q(x)=1/x^2)

のタイプの微分方程式の一般的解法を考えましょう．基本解がy_1,y_2であるとします．

(1)y_1''+P(x)y_1'+Q(x)y_1=0
(2)y_2''+P(x)y_2'+Q(x)y_2=0

(2)y_1-y_2(1)を計算すると

y_1y_2''+P(x)y_1y_2'+Q(x)y_1y_2=0
y_1''y_2+P(x)y_1'y_2+Q(x)y_1y_2=0
---------------------------
(y_1y_2'-y_1'y_2)'+P(x)(y_1y_2'-y_1'y_2)=0

ここで

y_1y_2'-y_1'y_2=W

とおくとWはWronskianと呼ばれます．

dW/dx=-P(x)W,dW/W=-P(x),log|W|=-∫P(x)dx+C

W(x)=W(x_0)e{∫_{x_0}^x{-P(t)}dt}

y_1またはy_2を定数倍したものも解であるから，その調整をしてW(x_0)=1とできる．すると

y_1y_2'-y_1'y_2=e^{∫_{x_0}^x{-P(t)}dt}

ここで同次形y_1y_2'-y_1'y_2=0の解はy_2'/y_2=y_1'/y_1,log|y_2|=log|y_1|+D,y_2=Ey_1だから定数変化法でy_2=E(x)y_1とおくと

y_1(E'(x)y_1+E(x))-E(x)y_1=e^{-∫^x{-P(t)}dt}
y_1^2E'(x)=e^{-∫^x{-P(t)}dt}
E'(x)=(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}
E(x)=∫(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}dx

こうして

y_2=y_1∫(1/y_1^2)e^{-∫^x{-P(t)}dt}dx

この後は掲載の計算と同様です．出所☆から確かに

P(x)=-1/x

です．y_2=xlog|x|と結果が出ているのでWronskianを計算してみると，y_2'=log|x|+1

W(x)=x(log|x|+1)-1・xlog|x|=x(x_0=1)

>　(d^2 z)/(dx^2) + (P(x) + 2 1/y_1 dy_1/dx ) dz/dx = 0
これはいまひとつ情報不足ではっきりしません．

回答できるのはここまでです．

お礼

分かりにくい質問に答えてくださって、大変ありがとうございます。
実は肝心のP(x') = (-1/x')の部分がまだよく分からないので、本の全文書いてみます：

2階斉次線形微分方程式の一般解

2階斉次線形微分方程式は、1次独立な基本解を2つ持つ。基本解の1つが求まれば、もう1つの基本解は次のようにして求めることができる。

解法10
2階の斉次線形微分方程式
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) + P(x) dy/dx + Q(x) y = 0
において、基本解の1つをy_1とすると、これと1次独立なもう1つの基本解は次式で与えられる。

　　　　　y_2 = y_1 ∫1/y_1^2 exp(-∫P(x')dx') dx　　　　　(3.9)

[解説]
(d^2 y)/(dx^2) + P(x) dy/dx + Q(x) y = 0の基本解y_1に対して、y=y_1*zが同じ微分方程式を満足するようにzを求める。

　　　　　dy/dx = z (dy_1/dx) + y_1 (dz/dx)
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = z (d^2 y_1)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + y_1 (d^2 z)/(dx^2)

であるから、y = y_1*zが元の微分方程式を満足するためには、次の式が成り立たなくてはならない。

　　　　　{ z (d^2 y_1)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + y_1 (d^2 z)/(dx^2) } + P(x) { z (dy_1/dx) + y_1 (dz/dx) } + Q(x)*y_1*z = 0

この式を整理すると、
　　　　　z { (d^2 y_1)/(dx^2) + P(x) (dy_1/dx) + Q(x) y_1 } + { y_1 (d^2 z)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + P(x) * y_1 (dz)/(dx) } = 0

y_1は元の微分方程式の解であるから、第1項は0に等しく、zが満たすべき方程式として次の式を得る。

　　　　　y_1 (d^2 z)/(dx^2) + 2 (dy_1/dx)(dz/dx) + P(x) * y_1 (dz)/(dx) = 0

これを変形して次の式を得る。

　　　　　(d^2 z)/(dx^2) + ( P(x) + 2 1/y_1 dy_1/dx ) dz/dx = 0

さらに、X(x) = dz/dx とおいて X(x) についての微分方程式を次のように解くことができる。

　　　　　dX/dx + (P(x) + 2 y_1'/y_1) X = 0
　　　　　dX/X = - (P(x) + 2 y_1'/y_1) dx
　　　　　log X = -∫(P(x') + 2 y_1'/y_1) dx' + C　　　　　←ここ
　　　　　　　　= -∫P(x') dx' - 2 log y_1 + C
　　　　　　　　= -∫P(x') dx' + log y_1^(-2) + C

すなわち、
　　　　　X = dz/dx
　　　　　　= (e^c)/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' )
　　　　　　= (C_2)/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' )

ここで、任意定数を C_2 = e^c とおいた。上式を積分することによってzは次の式によって定まる。

　　　　　z = C_2∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx + C_1

すなわち、
　　　　　y = y_1*z
　　　　　　= C_2*y_1∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx + C_1*y_1
となり、第1項目の
　　　　　y_2 = y_1∫1/(y_1^2) exp(-∫P(x') dx' ) dx
が y_1 と1次独立な解となる。
したがって、一般解は任意定数 c_1, c_2 を用いて
　　　　　y = c_1*y_1 + c_2*y_2
で与えられる。

問題
x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の一般解を求めよう。

前の例で示したように、x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の基本解の1つは y_1 = x である。これと1次独立なもう1つの基本解は、式(3.9)を用いて次のように求まる。

y_2 = y_1 ∫ 1/y_1^2 exp (-∫P(x') dx') dx
= x ∫ 1/x^2 exp (-∫(-1/x') dx') dx　　　　　　　← P(x') = (-1/x') ？
= x ∫ 1/x^2 exp (log x) dx
= x ∫ x/x^2 dx
= x log |x|

よって、一般解は
　　　　　y = c_1 * x + c_2 * x log |x|
となる。

・・・以上です。

上のような解説がある場合に、なぜ P(x') = (-1/x') になるのか教えていただけませんか？
しつこくて申し訳ないですが、どうかよろしくお願いします。

補足

ちなみに、「前の例で示したように、x^2 (d^2 y)/(dx^2) - x dy/dx + y = 0 の基本解の1つは y_1 = x である。」については、この解法10の前に例題があって、そこで基本解の1つは y_1 = x であることが説明されています。