偏微分方程式の解き方
- 偏微分方程式の解き方について質問があります。
- 質問文章では、補助方程式の変形について分かる部分と分からない部分があります。
- また、解の一般解を求める方法についても質問されています。
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偏微分方程式の解き方
x(y-z) (∂z/∂x) + y(z-x) (∂z/∂y) = z(x-y) この微分方程式を解く問題で、解答を見ても、理解できない部分があるため、質問させていただきます。 ～解答～ 補助方程式 dx/x(y-z) = dy/y(z-x) = dz/z(x-y) これより、 (1/x)dx / (y-z) = (1/y)dy / (z-x) = (1/z)dz / (x-y) と変形できます。 ここまでは分かるのですが、 これに加比の理を適用すると、 d(logx+logy+logz) / 0 = ((1/x)dx+(1/y)dy+(1/z)dz) / ((y-z)+(z-x)+(x-y)) = (1/x)dx / (y-z) = (1/y)dy / (z-x) = (1/z)dz / (x-y) ↑ここの1つ目のイコールが何故、成り立つのかが理解できません。 d(logx+logy+logz)を計算したら、1/x + 1/y +1/z になってしまわないでしょうか？ 逆に、積分してlogになったのだとしても、dが残る理由が理解できません。 よろしくお願いします。 一応、続きも書いておきます。 ここで、d(logx+logy+logz) / 0 より、 d(logx+logy+logz) / 0 = d(logxyz) = 0 よって、logxyz = C' ゆえに、xyz = C （積分定数） このあと、もう１つの解を出して、一般解とします。
- reine1
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d(logx)/dx=1/x から d(logx)=(1/x)dx が導けるでしょう。y,zについても同様だから d(logx+logy+logz)=(1/x)dx+(1/y)dy+(1/z)dz ですよね。分母は(y-z)+(z-x)+(x-y)=0です。
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- f272
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d(logx+logy+logz)=1/x + 1/y +1/z だと考えてるんですか？言い換えると d(logx)=1/x ですか？ 高校生のときに習うのは d(logx)/dx=1/x でしょう。どう見ても上の式と違いますよ。
お礼
ありがとうございます。 失礼しました、勘違いしていました。 しかし、そうだとしてもやはり理解できません。 dx、dy、dzはどこにいってしまったのでしょうか？
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