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2階斉次線形微分方程式の解法とは？
sol_solenoidの回答
- sol_solenoid
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この問題では、定数変化法に基づく階数低下法といわれる手法を使い 1つのわかっている基本解(ここではy_1)からもう1つの基本解を求め、これらの基本解から一般解を求めています。 y_2(x)=z(x)y_1(x)とおいて計算を進め、2階の方程式を1階の方程式にするところまでは 大丈夫なようなので、x'の捉え方について述べます。 結論を言ってしまえば、x'はxの微分ではなくてただの積分変数です。 どういうことかといいますと ＞dX/X = - (P(x) + 2 y_1'/y_1) dx ＞log X = -∫(P(x') + 2 y_1'/y_1) dx' + C ←ここ の右辺についてですが、これは私の手元にある教科書に書かれている、不定積分、原始関数のそれぞれの定義 「定積分の上端を変数と考えた時の関数 F(x)=∫[a→x] f(t)dt をf(x)の不定積分という」(∫[a→x] はaからxまでの積分の意味。) 「区間I上で定義された関数f(x)に対し、F'(x)=f(x)をみたす関数F(x)をf(x)の原始関数という」 に基づく定理 「f(x)が区間I上で連続ならば、不定積分F(x)=∫[a→x] f(t)dt (aはIの中で1つ固定)はf(x)の原始関数である。逆に、f(x)の原始関数はF(x)+C (Cは定数)の形の関数しかない。 」 を右辺の「- (P(x) + 2 y_1'/y_1) 」の原始関数の計算に、忠実に用いた結果と思われます。 このとき、積分変数をtではなく、x'としているのです。y_1(x),y_1'(x)もy_1(x'),y_1'(x')です。ややこしいですね。 この原始関数の計算の結果として出る定数の部分は一般解の定数部分c_2に吸収されるため、基本解であるy_2の計算には関係しません。なので問題の解答では、 y_2 = y_1 ∫ 1/y_1(x)^2 exp (-∫P(x') dx') dx (←ここのy_1(x)) = x ∫ 1/x^2 exp (-∫(-1/x') dx') dx = x ∫ 1/x^2 exp (ln x) dx (←ここのln x) のようにxの関数のみを考えています。 P(x)については、No.1の回答者であるereserve67さんがおっしゃるようにP(x)=-1/xです。 定義・定理については:笠原 晧司著 「微分積分学」 サイエンス社 のp54,p55より引用しました。 また、階数低下法については:E・クライツィグ著 「常微分方程式」 培風館 p74,p75を参考にしました。
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