多角形について≧∞≦

質問

多角形についてです。3題問題がありまして、3つの答えをたすと答えが170か、168か172か、1113か、1115になるという問題です。 (1)内角の和が2340度になるのは何角形?180°×（n-2）=2340で答えは、15角形 (2)一つの内角の大きさが162度になるのは何角形?180°×(n-2)=162nで、20角形 (3)対角線が全部で20本引ける正多角形の一つの内角の大きさは?←これがどうしても分からなくて困っています。誰か教えてください≧∞≦ それと、(1)と(2)の答えって合っていますか?回答の方、宜しくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞3つの答えをたすと答えが170か、168か172か、1113か、1115になるという問題です。
１７０です。
＞(1)内角の和が2340度になるのは何角形?180°×（n-2）=2340で答えは、15角形
ｎ－２＝１３より、ｎ＝１５　合っています。
＞(2)一つの内角の大きさが162度になるのは何角形?180°×(n-2)=162nで、20角形
１つの外角の大きさは、１８０－１６２＝１８より、外角の和３６０／１８＝２０
２０角形で、合っています。
＞(3)対角線が全部で20本引ける正多角形の一つの内角の大きさは?
正多角形の対角線の数＝ｎ（ｎ－３）／２＝２０だから、
ｎ^2－３ｎ－４０＝０
（ｎ－８）（ｎ＋５）＝０ｎ＞０より、ｎ＝８
１８０×（８－２）＝１０８０（内角の和）　１０８０／８＝１３５度

多角形の対角線の数については、以下を参考にして下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A

お礼

詳しい計算の過程までありがとうございます。とても参考になりました。採用試験が近いので、この解説を参考にして、精一杯頑張ろうと思います。ありがとうございました。

回答No.4

info22_

(1) n=15,(2)n=20の答えは合っています。
ただし、式の両辺の単位を揃えましょう。（左辺に「°」をつけるなら、右辺にも「°」をつける。）

(3)は正n角形の対角線の総数についての式
　n(n-3)/2=20　∴n=8
　１つの内角 = 180°*(n-2)/n = 180°*6/8 = 135°

>3つの答えをたすと答えが170
15+20+135 = 170
となっています。

お礼

単位を揃えるのを忘れてしまってすみませんでした。ご指摘ありがとうございます。とても分かりやすく回答をしていただきありがとうございました。

回答No.3

karamarimo

(1)と(2)は合っていますよ！(^_^)b
<(2)の別解>
一つの外角が 180°-162°=18°
多角形の外角の和は360°だから
360°÷18°=20 よって正20角形

(3)http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm
↑こちらを見ていただくと分かりますが、
正n角形の対角線の本数は n(n-3)/2 です。
n(n-3)/2=20 とすると、n=8 となります。
よって正8角形
一つの内角の大きさは
180°×(8-2)÷8=135°

3つの答えの和は170になりましたね。
これでご理解頂けたでしょうか？

お礼

質問に回答していただきありがとうございます。とても分かりやすい回答でした。参考にさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

(3)
まずは、四角形とか五角形とか、頂点の数が少ない図形で考えてみましょう。

ある頂点からの対角線は、その頂点自身と、両隣の頂点（合計3頂点）へは引けません。
ということは、n角形のある頂点から引ける対角線の本数は(n－3)本です。
n角形ですからそれがn個分ありますが、これだと同じ対角線をダブって数えています。
よって、全体を2で割る必要があります。その数が20本です。

お礼

対角線の観点から、詳しい説明ありがとうございます。参考にさせていただきます。