Ｄｉｒａｃ方程式から水素エネルギー準位

質問

なんどもなんどもごめんなさい。
まだ解決できていないです。

http://starfall.ddo.jp/~superstring/physics/Dirac.pdf
についてわからないことが多々あります。

１．（３）式の導出方法
μ=0,1,2,3と代入しようと思ったのですが、代入して１つの式にp0とp1とp2とp3がいっきには出てきません。たとえばμ＝０だったらその式にはp0しか出てこないと思うのです。
４つあるうちの１つだけ説明いただければ後は理解しますのでどうしたら（３）式が出てくるのか解説お願いします。

２．（１）式
（３）を出すにあたり代入しようと考えました。
しかし、ベクトルとベクトルではないものが混ざっている気がします。
γは４×４のベクトル
（ｐμ＋eAμ）はγの係数
ｍは正の整数
という認識なのですが間違っていると思います。
[ ]の部分がベクトルー整数となり計算できずに困っています。
Aμはベクトルだったきもしますが、どっちにしろ計算できません。
間違いの指摘をお願いします。

３．（７）と（８）について
この式はクラインゴルドン方程式と似たと書いてありますが、まったくもって何の話をしているのかが分かりません。（クラインゴルドン方程式については少し参考書をあさってよみました）

４.(24)微細構造定数について
（２４）ではe^2となっていますが、私は微細構造定数はe^2/(4πε0hバーc）と習いました。
自然単位系で、ｈバーとｃが１だとしても分母がまだあります。
これはなぜでしょうか？

５．（２８）と（２９）について
これは何を根拠に書いているのかまったく分かりません。

６．（３１）の分数の等式について
この分数の式は間違っていると思うのですが、私の勘違いでしょうか？
どう計算しても合いません。

７．（３２）と（３３）について
（３０）の２番目の式にはｓが入っていないのに突然出てきて理解できません。
また２つをそれぞれA、Bで割って足したら２ｓが残ると思うのですが、なぜｓは現れたり消えたりするのでしょうか？

８．（３７）と（３８）と（３９）と（４２）について
この４式はなぜこうなるのか式で追えなかったので説明お願いします。

９．（４３）と（４６）
理解できてないからかもしれませんが、特に（４６）が適当だろと思わず言いたくなるような感じを受けたのですが、２つについての説明をお願いします。

回答宜しくお願いします。

回答No.5

heboiboro · ベストアンサー

1. 前の方が説明してくださっていますが、(1)式はアインシュタインの縮約規則を使っています。
どういうことかというと、(1)式は次の意味です。
[γ^0(p_0+ eA_0) + γ^1(p_1+eA1_) + γ^2(p_2+eA_2) + γ^3(p_3+eA_3) － m]ψ(x,t) = 0
各γは4×4行列で、ψは4成分量ですので、この式はまた同時に四つの式を表していることにもなります。
それを書き表したのが(3)式です。

2.
ψが4成分量であることを思い出してください。
γは4×4ですので、γψは4成分量です。mψも4成分量です。ですのでこの二つの引き算は可能です。
別の考え方をすれば（同じことですけど）mには暗黙の内に単位行列が掛かっていると思ってもいいです。

3.
ちゃんと計算していませんが、(7)式はおそらく(1)式に左から [γµ(pµ+ eAµ) + m]を掛けて整理したものではないかと思います。
（計算する際には、p と A が交換しないことに注意してください）
（ちょっと符合がおかしい気がするので、誤植だと思います）。
(8)式で、クーロンポテンシャルの部分や電場Eの部分を0と置くと、自由粒子のクライン・ゴルドン方程式と同じ形になります（符合がおかしいのを除いて）。
あるいはクーロンポテンシャルや電場の部分を除かなくてそのままの形でも、「電磁場中のクライン・ゴルドン方程式」とよく形が似ています（α・Eの項がくっついているだけです）。

4.
そうなるような単位系をとっているだけです。
おそらく、cgsガウス単位系（1/4πε0=1となる)を元に、さらにc=hbar=1としているのでしょう。

5.
色々な説明ができますが、単純な説明としては、水素原子のシュレーディンガー方程式のときにこんな感じに置けたら解けたから多分こんな感じに置けば解けるだろう、という感じでしょうか。
あるいは、単にexp(λr)F(r)をべき級数で展開しただけですので、方程式を解くためのテクニックという以上の説明は難しいかと思います。
丁寧な（？）文献だと、(25)(26)の無限遠での振舞いがあるλを使ってexp(-λr)と書けることを先に調べて、そのうえで、その無限遠からの振る舞いとのずれをべき級数で表す、という手順をとっていたりします（結局は同じことなんですが）。
詳しいことは、水素原子のシュレーディンガー方程式の解法を復習してみてはどうでしょうか。

6.
確かにこれは間違っているようですね。正しくは a0/b0=B/A だと思います。
ただ、すぐ次の行でa0=B, b0=Aとすると言っているので、(31)式は単なる書き間違いでしょう。

7.
これも単なるミスでしょう。s=0と置き換えればいいかと思います。

8.
(36)については、おそらくその根拠となる(30)式にそもそもミスがある気がします（どこかにsが入る気がする）
ですので、(30)式を自分で正しく導いてからもう一度やってみてください。
(37)(38)については、(37)式をc_sの定義と思って(36)式に代入すれば(38)式が出ます。
(39)は、(37)(38)を（正しく計算した）(30)に代入すれば出るのではないかと思います。
(42)式は、(41)式を順次適用していっただけです。漸化式を解く常套手段です。

9.
もし、全てのcsが非零だと、この解は無限遠で指数関数的に増大します。
無限遠で零にするには、あるs以上のcsが零になる必要があります。
(43)式が満たされていると、s>=n'+1 のとき、cs=0になるので、この条件が満たされます。
(46)に関しては、何が「適当だろ」なのか分かりませんが、ただ文字の置き換えをしただけです。
こういうふうな置き換えをしたら解の形が綺麗になるということでしょう。

Web上のテキストで学習するのは、誤植も多いので、自信がなければお勧めしません。
なにか本で勉強してみてください（ただし、本にも誤植は必ずあるので、それは覚えておいてください）

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

４番は、cgs単位系で電磁気の式の至るところにcが現れるのと一緒で、単位を決める基本方程式から追っていかないとわかりませんよ。

以前に、単位系が違うと言いましたが？

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ランダウ＝リフシッツを読み進めるには数学力が必要です。数学ができれば理解できると言ったコンセプトなんで。
質問者の過去の質問を見ても、途中式が書いてないから非常に難しく感じるかも。

回答No.2

grothendieck

親切な回答がたくさん来て心強い限りですね。

アインシュタインの規約「テンソルの縮約する添え字については総和記号を省略する」

γμAμ　はμ=0,1,2,3と代入するのではありません。
ｍは整数ではありません。ｍは電子質量なので0.51Mev(を自然単位系に直したもの)です。

ミンコフスキー空間とスピノールの空間を区別する必要がある。Aμはミンコフスキー空間ではベクトルだが、スピノールの空間ではスカラー。

インターネットで勉強するのは無理。
　西島和彦「相対論的量子力学」
　ランダウ＝リフシッツ「相対論的量子力学」
その他何でもいいですが、教科書を読んだほうがよさそうです

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

確率密度関数の行列表示の量子力学を勉強してください。