球台の体積の公式

質問

錐台の体積S=(h/3){S+√(ST)+T}（ただし、S,Tは錐台の上面、下面の面積）
は導くことが出来ました。

球台の体積S=(πh/6){3R^2+3r^2+h^2}（ただし、R,rは球台の上面、下面の円の半径、hは高さ）
を導くことが出来ればどうか教えてください。

球台とは、球を平行な2平面で切断した立体です。

回答No.1

ferien

球台の体積S=(πh/6){3R^2+3r^2+h^2}（ただし、R,rは球台の上面、下面の円の半径、hは高さ）
＞を導くことが出来ればどうか教えてください。
積分で求められます。
中心（０，０）半径１の円ｘ^2＋ｙ^2＝１　……（１）の一部をｙ軸の周りに回転してできる立体として
求めます。
ｘ軸よりも上の部分で半径Ｒの上面、ｘ軸よりも下の部分で半径ｒの下面ができるとします。
半径Ｒのときの高さをｈ1，半径ｒのときの高さをｈ2とすると、ｈ＝ｈ1＋ｈ2　……（２）
（半径をｘ、高さをｙとして考えます。）
（１）より、
半径Ｒのときの高さｈ1＝√（１－Ｒ^2）より、ｈ1^2＝１－Ｒ^2　……（３）
半径ｒのときの高さｈ2＝√（１－ｒ^2）より、ｈ2^2＝１－ｒ^2　……（４）
体積は、ｘ軸より上側Ｖ1とｘ軸より下側Ｖ2を求め、Ｖ＝V1＋Ｖ2で求めます。
体積Ｖ1＝∫［０～ｈ1］π・ｘ^2ｄｙ
＝∫［０～ｈ1］π（１－ｙ^2）ｄｙ
＝π［ｙ－(1/3)ｙ^3］［０～ｈ1］
＝π｛ｈ1－(1/3)ｈ1^3｝
体積Ｖ2＝∫［０～ｈ2］π（１－ｙ^2）ｄｙ（ｙ軸の上側に移動して求めても同じ結果です。）
＝π｛ｈ2－(1/3)ｈ2^3｝

Ｖ＝π｛ｈ1－(1/3)ｈ1^3｝＋π｛ｈ2－(1/3)ｈ2^3｝
＝π｛（ｈ1＋ｈ2）－(1/3)（ｈ1^3＋ｈ2^3）｝
＝π｛（ｈ1＋ｈ2）｛１－(1/3)（ｈ1^2－ｈ1ｈ2＋ｈ2^2）｝　
＝(1/3)πｈ｛３－（ｈ1^2－ｈ1ｈ2＋ｈ2^2）｝　（２）より、
ここで、（ｈ1＋ｈ2）^2＝ｈ1^2＋２ｈ1ｈ2＋ｈ2^2
（２）～（４）より、
２ｈ1ｈ2＝ｈ^2－ｈ1^2－ｈ2^2
＝ｈ^2－（１－Ｒ^2）－（１－ｒ^2）
＝ｈ^2＋Ｒ^2＋ｒ^2－２
よって、ｈ1ｈ2＝(1/2)（ｈ^2＋Ｒ^2＋ｒ^2－２）だから、
３－（ｈ1^2－ｈ1ｈ2＋ｈ2^2）
＝３－（１－Ｒ^2）－（１－ｒ^2）＋(1/2)（ｈ^2＋Ｒ^2＋ｒ^2－２）
＝(1/2)（ｈ^2＋３Ｒ^2＋３ｒ^2）
よって、
Ｖ＝(1/3)πｈ(1/2)（ｈ^2＋３Ｒ^2＋３ｒ^2）
＝（πｈ／６）（ｈ^2＋３Ｒ^2＋３ｒ^2）

になりました。
座標平面に表すことができれば、分かると思います。