n次元球の体積について

質問

すでに過去にも同様の質問がされているようですが、
一点、教えていただければと思います。

n次元ガウス積分を2通りの解法でといて、
その解を利用して、n次元球の体積を求めます。

n次元ガウス積分が、π^(n/2)になることは分かります。

半径rのn次元球の体積をV_n、
表面積をS_nとしたときに、V_n = K * r^n とすると、
S_n = n * K * r^(n-1)になるかと思います。

ここで、n次元ガウス積分が、
∫S_n e^(-r^2) dr とおけることが理解できません。

どうかよろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

Kを求めたいという趣旨でしょうか。

n次元ガウス積分とは、
I=∫…∫exp(-(x1^2+…+xn^2))dx1…dxn
（積分範囲はどの変数も-∞から∞）
だと思いますが、一次元のときは値が√πなので、I=π^(n/2)
であることはすぐわかります。

これをn次元の極座標に変換すればよいのですが、書くと非常に
長くなりますのでちょっと簡略化して書きます。
（2次元の場合などで実際に計算してみると良いと思います。
円周の長さ×exp(-r^2)が出てくるはずです。その前に、n次元の
座標変換とか、ヤコビアンとかご存知でしょうか？）

半径rのn次元球体Bn(r)の体積をVn(r)、表面積をSn(r)とします。
ガウス積分の計算の仕方として、
[x1,x1+dx1]×…×[xn,xn+dxn]という中の値を合計していくのでは
なく、Bn(r+dr)-Bn(r)の中の値を合計していくこととします。
（Bn(r+dr)-Bn(r)は球体の非常に薄い皮のような感じ、りんごの
皮のような）
この中では、exp(-(x1^2+…+xn^2))の値はexp(-r^2)
Bn(r+dr)-Bn(r)の体積はVn(r+dr)-Vn(r)=dVn(r)
よって、
I=∫exp(-r^2)dVn(r)=∫exp(-r^2)dVn(r)/dr・dr
=∫exp(-r^2)・nKr^(n-1)dr=∫exp(-r^2)・Sn(r)dr
（積分範囲は0≦r＜∞）

つまり、原点を中心として、放射状に合計していく（積分する）
という感じです。
２次元とか３次元の場合でイメージしてみてください。

正確に書くには、n次元の極座標に変換して、ヤコビアンを計算して、
偏角の部分を全部０から２πまで積分してn次元球体の表面積を計算
する、というステップになると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おかげさまでしっかり理解できました。

>（2次元の場合などで実際に計算してみると良いと思います。
> 円周の長さ×exp(-r^2)が出てくるはずです。

この部分で、私の認識ミスが明確になりました。
ここで、変数変換により円周の長さがでるということが、
私にとってキーとなりました。

円周の長さというのが、超球では表面積であると考えれば、
n次元ガウス積分が∫exp(-r^2)・Sn(r)drとなることが、
説明できるのですね。

本当に感謝しております。ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

＞ ∫S_n e^(-r^2) dr とおけることが理解できません。
∫S_n r^(n-1)*e^(-r^2) dr
の間違いでは？
n次元ガウス積分で、
x1^2 + x2^2 + … + xn^2 = r^2
と置換すると、この式がでてきます。
r^(n-1) は変数置換によるJacobianです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> ∫S_n r^(n-1)*e^(-r^2) dr
> の間違いでは？

このとき、S_nは単位超球の表面積なのでしょうか？
それとも、半径rの超球の表面積なのでしょうか？

また、n次元ガウス積分が、
S_nを使って、∫S_n r^(n-1)*e^(-r^2) dr のように
表せるのかが理解できておりません・・。

> n次元ガウス積分で、
> x1^2 + x2^2 + … + xn^2 = r^2
> と置換すると、この式がでてきます。
> r^(n-1) は変数置換によるJacobianです。

このヤコビアンはどうすれば求まるのでしょうか？

よろしくお願いします。