通過領域の体積

質問

空間で、辺の長さが４の正方形の辺に沿って、半径１の球の中心が１周するとき、この球が通過する部分の体積Vを求めよ

という問題があるのですが、模範解答では、球の切断面である円の半径をrとおいて、
球の中心を通る平面の面積S（r）を求めます

S（r）＝32r+(π-4)r^2

その後、正方形をxy平面上において、球が通過する部分を平面z=t (-1=<t=<1)とおき、

r=(1-t^2)^(1/2)

S（r）に上記の式を代入し、tについて積分するのですが、
この問題ってrをtで表現するのはどういう意味があるのでしょうか？
というのも、r (1→0)としてrについて積分し、二倍すればいいんじゃないかと思ったのですが、
実際やってみると結果が違います。なぜなんでしょうか。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

単に「1から 0まで変化するから」というだけで、
積分変数を考えてしまうと間違ってしまいます。

rと tの間には、質問中にもあるとおり
　r^2+ t^2＝ 1

という関係式が成り立っています。
置換積分に用いる方法で、dtと drの関係を求めると
r^2＝ 1- t^2
2* r* dr＝ -2* t* dt
dr＝ -t/r* dt
dr＝ -t/√(1-t^2)* dt

となっています。

上記の変形は単に置換積分の計算としかとらえられないことが多いです。

しかし、rの変化量と tの変化量の関係を表しているととらえれば、
tの変化に対して rは単に比例するような変化ではなく、
tの値自体に依存した変化をしていることがわかります。
(例：t＝ 0.1のときの変化量と t＝ 0.5のときの変化量は違う)

逆に rで積分を実行するのであれば、
「高さ」に相当する変数(t)が上記の関係式に従った値の変化をします。
というよりも、rは「円の半径」という平面上での変化でしかないので、
視覚的に考えても「高さ」という考えが含まれていないことになります。

模範解答は先に S(r)を計算する流れになっているようですが、
実際には、
1) z＝ tの平面で「薄切り」にすることを考えて、
2) そのときの断面における「円」の半径を計算する。
3) それらから、断面積：S(t)を求める。
4) zについて積分する。dzは微小な「厚み」を表す。

というのが自然な流れになると思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5903551.html

お礼

回答ありがとうございます。

＞視覚的に考えても「高さ」という考えが含まれていないことになります。
この文章はわかる気がします。

ですが本質を理解したとは思えません。
とりあえず思うのは、

・何の微小かをよく考え、区分求積で考えるとき、微小になる変数によって積分する

ということです。
多分これで大丈夫だと思うのですが・・・。

回答No.3

kacchann

積分とは何か。
積分で"面積"(※もしくは体積)が算出できるのはなぜか。
そのへんの「定義」まわりのことを
もう一度調べなおして
ちゃんと理解しよう。

そのためには
たとえば区分求積的なアプローチの
「定積分の定義」を
調べなおしたほうがわかりやすいかも。(※教科書にかかれている定義はたぶん違う)
ぬるい参考書だと扱われてないかも。

※「1対1対応の演習 数III」あたりにはわかりやすく載ってるかと。
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この問題で言えば、
単に「S(r)に積分とよばれる計算を適用すればいいじゃないか」と考えるのではなく、
大切なのは、
「S(r)に『どういう積分』をすれば体積が算出できるのか」と考えることですね。
やるべきことの「意味」を考えることです。
ようすうるに積分とは何か、定積分とは何か、面積および体積とはなにか、が
わかってないと、
考えようがないですね。
何を何で積分するか。そこの意味をとらえないと、
このレベルの問題になるとお手上げになりますね。

お礼

回答ありがとうございます。
私も、なんか基本がなってないんだろうな・・・。とは思っていました。

一対一は今後必ずやるので今回はNo1の方が示してくれた考え方でしのぎたいと思います。

回答No.2

info22_

参考URLのパップス・ギュルダンの定理を使えば積分を使わなくても

　移動経路に垂直な断面積S=π*1*1=π
　球重心（球の中心）の移動距離L=4*4=16
　通過する部分の立体の体積V=(断面積S)*(重心の移動距離L)=16π

と求まるかと思います。

参考URL：

http://archives.jpn.org/arithmetic/sansugaku/sansugaku-10.html

お礼

回答ありがとうございます。
パップスギュルタンは知っていますが、使うと怒られますし、
なんでそうなるのかよくわかってないので今回はやめときます。