立体の体積(積分)

質問

半径がaの円の直径AB上の点Pを通り、ABに垂直な弦RQを一辺とする正方形RQSTを円を含む平面に垂直に立てる。PがAB上を動くとき、正方形RQSTが動いて作る立体の体積を求める問題です。
数字が無いので公式等の典型的な形になるのでしょうか？
図形の動きは分かったのですが、どのように解くのかが分かりません！

回答No.9

kenjoko · ベストアンサー

No.３です、勘違いしてましたので、もう一度やり直してみました。

答えは、皆さんと同じ　16a^3/3　となりました。

考え方は添付の画像の通りです。

info22さん　ありがとうございます。

あれ、私が理解して、どうするのかな？質問者はわかったのかな？

回答No.10

kenjoko

質問者は分かったのか、分からないのかはっきりしろ！

お礼

大変遅くなりすいませんでした。
パソコンがインターネットにつながらない状況でした。
すいませんでした。

理解できました！
ありがとうございました

回答No.8

Tacosan

#7 の図で正方形QRTS を半分だけ下にずらし (つまり中間の横線が xy平面上にくるようにして), さらにこの正方形に内接する円を描けば #2 で「積分はいらない」とした意味もわかる... かなぁ.

回答No.7

info22_

#3,#5です。

図を添付します。
図と比較しながら積分と対応して見てください。

A#6に対する回答（積分）
A#3にも「考え方」を書きましたが、相似比を使わないで
a>0,y>0として立体の体積を積分で表現すると

S(x)=(2y)*(2y)=4y^2=4(a^2-x^2)
V=∫[-a,a] S(x)dx=4∫[-a,a](a^2-x^2)dx=4[xa^2-(1/3)x^3] [-a,a]
=4*2[a^3-(1/3)a^3]=8*(2/3)a^3=(16/3)a^3
となります。

回答No.6

kenjoko

info22さんへ

#3です。は解答No.３でよろしいでしょうか？

2通りの答えがでましたが

A#3の積分をチャンと実行すると
V=(16/3)(a^3)
となります。

A#3の積分なのでA#2の答えの方が合っていますね。
ここのA#3、A#2が解らない

教えて

回答No.5

info22_

#3です。

2通りの答えがでましたが

A#3の積分をチャンと実行すると
V=(16/3)(a^3)
となります。

なのでA#2の答えの方が合っていますね。

回答No.4

kenjoko

ＰがＡからＢまで移動するとき、線分ＱＲは

０→2a（Ｐが円の中心にきたとき）→０と変化する
よて、立体の体積Ｖは

Ｖ＝１／３×（2a)^2×a×２＝８a^3/3

どうかな？

中学や高校によって解答が変わる場合があるので、質問者は学年等を明記するように。

回答No.3

info22_

立体の対称性と体積は(相似比)^3に比例することから
体積Vは次の積分で計算できます。
V=2*4(a^3)∫[0,1](1-x^2)dx
この積分自体はそんなに難しくないでしょう。

考え方
まず、半径aを半径1にすると立体の体積関係は相似比(a/1)の3乗に比例するので半径1の円で考えて立体の体積を求め、それを(a^3)倍すれば元の体積が得られます。したがって、a^3を括りだしておけば、半径1の円「x^2+y^2=1」で考えればいいですね。A(-1,0),B(1,0)とすればPは直径AB上を動きます。円はy軸対称なので0≦x≦1の半分の体積を求めて2倍すればいいですね。
Pの座標をP(x,y)とすれば、R(x,√(1-x^2)),Q(x,-√(1-x^2))となります。
xの所での正方形RQSTの面積S(x)={2√(1-x^2)}^2=4(1-x^2)となります。
したがって立体の体積Vは上記の積分の式で表されます。

回答No.2

Tacosan

ああ, 連続で申し訳ないんだけど, これ解くのに積分はいらない.
たぶん答えは 16a^3/3 でいいんだよね?

回答No.1

Tacosan

え? これの解き方が分からないとなると, かなり問題だと思うよ.
適当に座標を入れてちょこちょこっと計算するだけだよねぇ.