部分球をある平面で切断したときの表面積

質問

部分球をある平面で切断したときの表面積の求め方がわからなくて困っているので解き方だけでもおわかりになる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

球ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝ｒ＾２をｘｙ平面と平行な平面ｚ＝ｈ（ｒ，ｈは定数、－ｒ＜ｈ＜ｒ）で切って、平面より上の部分球を取り出します。

それを更にｙ軸に平行な平面２ａｘ＋２ｃｚ＝ａ＾２＋ｃ＾２（ａ，ｃは定数）で切ったときの部分球の球面部の表面積はそれぞれいくら（どちらか一方の面積とか割合でもよいのですが）になるでしょうか。

回答No.3

noname#199771 · ベストアンサー

やりかたを変えてみました。
どうやら積分を使わなくても中学レベルの道具でできそうです。
立体角を利用します。

平面ｚ＝ｈが切り取る球帽Xの各点と球の中心とを結ぶ線分全体の和集合の体積をV_1
平面２ａｘ＋２ｃｚ＝ａ＾２＋ｃ＾２が切り取る球帽Yの各点と球の中心とを結ぶ線分全体の和集合の体積をV_2
両者が重なる部分をそれぞれ除いた部分の体積をそれぞれU_1,U_2
とすると、その重なった部分の表面積Sは

S=((4πr^2)/(4πr^3/3))(U_1+U_2-V_1-V_2)

となります。

2円の交点間の距離は2√(r^2-h^2-((a^2+c^2-2ch)/(2a))^2)
p=√(r^2-h^2)
q=√(r^2-(a^2+c^2)/4)
sinα=((a^2+c^2-2ch)/((r^2-h^2)a))√(r^2-h^2-((a^2+c^2-2ch)/(2a))^2)
sinβ=(2/(r^2-((a^2+c^2)/4)))√(r^2-h^2-((a^2+c^2-2ch)/(2a))^2)√(h^2-((a^2+c^2)/4)+((a^2+c^2-2ch)/(2a))^2)
を使って、U_1,U_2,V_1,V_2を初等幾何で計算できます。
一応結果は出ましたがものすごく長いので省略させてください。

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お礼

どうもありがとうございました。この問題は誰でも解法に行き着く問題ではないと思いますので、回答者さまが見ていてくれて幸運でした。

回答No.7

noname#199771

＞Ｖの代わりに切り口に表れる円の面積(１／２＊立体角＊ｒ＾２？）、
＞Ｕの代わりに切り口に表れる弓形の面積

何を言わんとしているのかわかりませんが、他に方法があるならそれ
でもいいのではないでしょうか。質問者さんのお好きな方法でどうぞ。

#3～#6の方法は、面積を直接求めるのが困難なので体積を計算して
立体角の性質から体積と表面積が比例することを利用して面積を求め
るというものです。単純ですが簡単というわけではありません。定数の
自由度が大きすぎるのでその場合分けを網羅するのも大変そうですし。

#6の図でいうと、上下共に円錐と球帽に分割して体積を計算します。
下の図では、断面を扇型と三角形に分割すると（つまり４分割）計算
できます。

お礼

回答いただいていた体積の算出法がわかりました。ありがとうございました。

回答No.6

noname#199771

もう一つ図を添付します。

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お礼

図も示していただきありがとうございます。

回答No.5

noname#199771

UとVを逆に書いてしまいました。失礼。

球全体を、端点が中心に固定された半直線を使って
連続的に動かしていって切り刻むと、切り取った部分
の体積が、その切り取った部分と球表面との共通部分
の表面積に比例することを利用するという考え方です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ちなみにＵの体積はどのようにして求めるのでしょうか。
体積は難しそうなので、お考えを拝借して、Ｖの代わりに切り口に表れる円の面積(１／２＊立体角＊ｒ＾２？）、Ｕの代わりに切り口に表れる弓形の面積としても良いように思われますが、ご見解をお教えいただければありがたいです。

回答No.4

noname#199771

#3で

＞両者が重なる部分をそれぞれ除いた部分の体積をそれぞれU_1,U_2

という書き方が不正確でした。#3の図の黒い直線と球の中心を通る平面で切断した2つの部分の体積をそれぞれU_1,U_2とするという意味です。

お礼

今日まで図が見えなくてお礼が遅くなりました。回答ありがとうございます。
示唆して頂いている計算方法がまだ完全には分からないですが、恐らくＶからＵを引くのだろうと思います。
Ｖは半球の体積に切り口の半径(ｐ、ｑ）とｒとの比を取り、
Ｕは更に切り口のα、βで弓形の面積の比を取る方法を想定されているのでしょうか。

回答No.2

noname#199771

#1ですが間違いがありましたので訂正します。

∬[x^2+y^2+z^2=r^2,z≧h,2ax+2cz≧a^2+c^2]√(1+(x^2+y^2)/(r^2-x^2-y^2))dxdy
となります。

積分範囲からzを消して
2∫[x=0～u]dx∫[y=0～√(r^2-x^2-((a^2+c^2-2ax)/(2c))^2)]dyr/√(r^2-x^2-y^2)
+2∫[x=u～r]dx∫[y=0～√(r^2-x^2-h^2)]dyr/√(r^2-x^2-y^2)

失礼しました。

yについての積分は計算できて、xについての積分が残りますが、
arcsin√(xの有理関数)の積分になってこれも大変そうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
エクセルやMATLABを使って算出してもよいのですが、直交座標では積分計算が難しいのですね。
参考にさせていただきます。ありがとうございます。

回答No.1

noname#199771

「上」というのはz≧hの意味でしょうか？

その定数たちの値によって場合分けが煩雑になるので、
例えばa>0,c>0,0≦h<r,-r≦u=(a^2+c^2-2ch)/(2a)≦rの時、
さらに2つあるうちの2ax+2cz≧a^2+c^2の側を選んだとします。

すると、該当する箇所の面積は
∬[x^2+y^2+z^2=r^2,z≧h,2ax+2cz≧a^2+c^2]√((x^2+y^2)/(r^2-x^2-y^2))dxdy
となります。

積分範囲からzを消して
2∫[x=0～u]dx∫[y=0～√(r^2-x^2-((a^2+c^2-2ax)/(2c))^2)]dy√((x^2+y^2)/(r^2-x^2-y^2))
+2∫[x=u～r]dx∫[y=0～√(r^2-x^2-h^2)]dy√((x^2+y^2)/(r^2-x^2-y^2))
となるので、あとはこの積分を計算すればいいです。
（計算の正誤は保証しないのでご自分で確かめてみてください）

文字が入ったままではこれ以上ムリなので数値を入れてコンピュータで計算するんでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございました。
（「上」というのはz≧hです。uの条件は-r≦u=(a^2+c^2-2ch)/(2a)≦rです。補足させていただきます。）

ｙ軸に平行な平面の位置で積分範囲を分ければ直交座標系で求めることができるんですね。この着想もできなかったので大変助かります。

もしよろしければ次についても教えてください。
（±の場合分けは省略して）
お教えいただいた面積の式の導出はｚ＝ｆ(ｘ、ｙ）としてｘ、ｙで偏微分すると
ｆx(ｘ、ｙ)＝－ｘ／√（ｒ＾２－ｘ＾２－ｙ＾２)
ｆy(ｘ、ｙ)＝－ｙ／√（ｒ＾２－ｘ＾２－ｙ＾２)となるので、
表面積の一般式に代入して
Ｓ＝∬(１＋ｆx(ｘ、ｙ)＾２＋ｆy(ｘ、ｙ）＾２）ｄｘ・ｄｙ
　＝∬(ｒ／√（ｒ＾２－ｘ＾２－ｙ＾２）ｄｘ・ｄｙ
となってしまいます。これはどうなのか自信が無いのでお教えいただけると有り難いです。