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微分の疑問
y=x^2を微分したら2xとかsinxを微分したらcosxとか、よく普通にやっていますが、もしこの関数達の微分する部分が連続性を持たない(y=｜x｜のx=0など)なら微分不可能ですよね だとしたらこの関数達を微分する部分が連続性を持ってることを示さなければならないということになりますが、どうやれば連続であることを示せるのでしょうか？ 直感は数学では通用しないので、示す方法が存在すると思います もしかしたら単純なことかもしれませんが教えてください
- 数学・算数
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- statecollege
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関数は、微分可能であれば、連続です。簡単ですから、証明しておきましょう。関数f(x)は点ｘで微分可能で、微分係数f'(x)を持つとします。すると、 いま、ｔ≠xとし、ｔ→ｘとすると f(t) - f(x) =[(f(t)-f(x))/(t-x)]・(t-x) → f'(x)・0 = 0 となり、lim(t→x）f(t) = f(x) （f(x)が点ｘにおいて連続であることの定義）が証明された。ｆ（ｘ）= x^2のように微分可能であることが分かっている場合は、その関数が連続であるかどうかチェックする必要はないのです。念のため、f(x)=x^2が微分可能で、f'(x)=2xであることは、t→ｘとすると (f(t)-f(x))/(t-x) = (x^2 - t^2)/(x-t) = (x+t)(x-t)/(x-t) = x+ t → 2x より証明される。
お礼
証明ありがとうございます よく分かりました
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
補足質問に対する回答です。 y=f(x)=|x| とします。 f'+(0)を求めてみます。 f'+(0) = lim[h→0] (f(0+h)-f(0))/h = lim[h→0] (|h|-|0|)/h = lim[h→0] h/h = lim[h→0] 1 = 1 f'－(0)を求めてみます。 f'－(0) = lim[h→0] (f(0-h)-f(0))/-h = lim[h→0] (|-h|-|0|)/-h = lim[h→0] h/-h = lim[h→0] -1 = -1 f'+(0)≠f'－(0) よって f(x)はx=0で微分可能でない。 以上
お礼
分かりました 回答ありがとうございました
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