不定方程式を解く方法
- ７０円のえんぴつと９０円のノートを購入し、合計５５０円支払った場合に、えんぴつの本数とノートの冊数を求める不定方程式について解法を教えてください。
- モジュラー演算を使うと、えんぴつの本数に関する式とノートの冊数に関する式を導くことができます。
- しかし、(2)の式を(1)に代入すると、ｔとｚを消す方法が分からなくなってしまいました。どのように進めればよいでしょうか？
- ベストアンサー
不定方程式
１本７０円のえんぴつⅹ本と１冊９０円のノートｙ冊を買って５５０円払った。ⅹ，ｙを求めよ。 という問題で、 ７０ⅹ＋９０ｙ＝５５０ ７ⅹ＋９ｙ＝５５ ・・・(1) ｍｏｄ７を考えると、 ２ｙ≡６（ｍｏｄ７） ｙ≡３（ｍｏｄ７） ｙ＝３＋７ｔ ・・・(2) ｍｏｄ９を考えると、 ７ⅹ≡１（ｍｏｄ９） ⅹ≡４（ｍｏｄ９） ⅹ＝４＋９ｚ ・・・(3) と、ここまでやったのですがこの先がわかりません。 (2)を(1)に代入してみたのですがそうするとｔとｚをどうやって消したらよいのかわからなくなってしまいました。 どなたかこの先どうしたらよいのか教えてください(>＿<) お願いします！！
- panyann
- お礼率80% (42/52)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数5
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>(2)を(1)に代入してみたのですがそうするとｔとｚをどうやって消したらよいのかわからなくなってしまいました。 おしいところまでできてますよ。 (2),(3)の両方を(1)に代入します。 このとき、t、zは共に0以上という条件があることに 注意します。 代入結果は 63(t+z)＝0 これをみたす0以上のt、zは? この答えは明らかですね。
その他の回答 (4)
- shinchan_k
- ベストアンサー率37% (16/43)
7x+9y=55より、 y=0のとき、7x=55 これを満たすxは1以上7以下 また、x=0のとき、9y=55 これを満たすyは1以上6以下 x=4+9zと表されるので、1<=x<=7を満たすのはz=0のときのみ よって、x=4 y=3+7tなので、1<=y<=6を満たすのはt=0のときのみ よって、y=3 ってな感じでどうでしょう。
お礼
ありがとうございました。
- ucchy
- ベストアンサー率42% (9/21)
もっと原始的に考えると x=(55-9y)/7 x, yは正の整数だから、1=<y=<6 y=1から順番に6まで考えて、y=3のときだけ xは正の整数になる。 というのが分かりやすくてよいのでは？ modを使うのは、そういう方法で解けと言われたのでしょうか。 あまり技巧に走ると(別にmodが技巧的とは言いませんが)、理解しづらくなりますので、とりあえず原始的に解説してみました。
お礼
申し訳ありません。私の説明不足でした。 Ｎｏ．１の方のお礼にも書いたようにｍｏｄの練習だったんです。 お手数をおかけしました。ありがとうございました。
x、yは0以上の整数ですが(1)より xは７以下、yは６以下ということも分かります。
お礼
ありがとうございました。
- fluffy
- ベストアンサー率29% (87/293)
これってどんなレベルの問題ですか？ ｘ、ｙは自然数しかあり得ないわけなので条件だしをすればすぐに終わりますよね？ modとか出してきてるけど変数を増やしたら解ける物も解けなくなります。 素直に 7、14，21，28，35，42，49と 9、18、27，36，45，54 から答えを求めた方がいいのではないですか？ そうでないならグラフでも書いて交点を見つけてください。
お礼
申し訳ありません。私の説明不足だったようです。 これはｍｏｄを使う計算の練習問題だったのでこのやり方でやってました。 どうもありがとうございました。
関連するQ&A
- 方程式の整数解
”rを自然数とする。 連立方程式 x^2+y^2+z^2＝1/3(r^2+2)…(1) x+y+z＝r…(2) の整数解を決定せよ。” という問題です。 僕は (2)を(1)に代入して 3(x^2+y^2+z^2)＝(x+y+z)^2+2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2 として、さらに同値変形で (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝1 としました。 x-y、y-z、z-x は全て整数で、 (x-y)+(y-z)+(z-x)＝0 であることから x-y＝1,y-z＝0,z-x＝-1 となります。（x,y,zの対称性からこの場合だけ考えれば十分） これからx,y,zは一般にtを実数として x＝t+1 y＝z＝t となります。 これと x+y+z＝r から t＝1/3(r-1) となったので、r≡1(mod.3)のときのみ題意を満たす(x,y,z)は存在して ｛x,y,z｝＝｛1/3(r+2),1/3(r-1),1/3(r-1)｝ である。 としました。 自分でいうのも何ですが、解法があまりにも巧すぎて、他の問題で使えそうにありません。 もっと自然な発想で解くことはできないでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1次不定方程式について。
(1) 1個の値段が、梨150円と桃80円のものがある。梨をいくらかと桃をいくらか買って、ちょうど3100円にしたい。梨と桃を何個ずつ買えば良いか。 (2)4x＋9y＝39の時、y≡3(mod 4)であることを示せ。 (3)(2)の時、4x＋9y＝39の整数解を求めよ。 ご教授願いたいです。すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 不定一次方程式 合同式で解く
。似たような問題ですが(2)が解けません。互除法ではもちろん解けます。 (1) 92x + 197y = 1 197y = -92x + 1 197y≡1 (mod 92) 197≡13, 197y≡13y(mod 92) 13y≡1 (mod 92) 13y≡1-92 (mod 92) 13y≡91 (mod 92) y≡7 (2) 92x + 57y = 1 92x = -57 + 1 92x≡1 (mod 57) 92≡35, 92x≡35x (mod 57) 35x≡1 (mod 57) ここから、いろいろ試しているのですが、うまい変形が見つかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- つるかめ算
先日受けた求職者支援訓練の選考試験で下記のような問題が出題されました。 ノート１冊、鉛筆２本、消しゴム１個を買った時４００円でした。 ノート２冊、鉛筆６本、消しゴム４個を買った時１１００円でした。 ノートの値段は、鉛筆１本と消しゴム１個の合計と同じです。 それぞれの値段を求めよ。 私自身は、ノート＝ｘ・鉛筆＝ｙ・消しゴム＝ｚとし (1) ｘ+2ｙ+ｚ＝400 (2) 2ｘ+6y+4z＝1100 上記より差額の700円分を抽出 (3) x+4y+3z＝700 ここから(1)と(3)の差額の300円分を抽出 2y+2z＝300 y+z＝150 x＝y+zの為 ノート１冊150円 ここまでは合ってるかは別として計算することができました。 しかしこれ以降は計算式が浮かんでこず 2y+z＝250・・・・・・鉛筆が100円？・・・・消しゴムが50円？ というように計算式抜きで正解を出してしまいました。 回答できたんだからいいじゃないかと言われるかもしれませんが 私としては、この問題の場合こういう計算式で解くんだよ というお手本が欲しいため質問させていただきました。 お知恵をお貸しください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一次不定方程式の解き方
一次不定方程式（aX+bY=dの（X,Y）を求めたいとします。）には、解き方が2種類あると聞きました。 1つは、適当な解(X,Y)=(X1,Y1)を求め、 X=X1-bt Y=Y1+at (tは整数)とする方法 もう1つは、 a,bのうち、小さい方の素数に着目し、変形していく方法なのですが、こちらの解き方で解けない問題があり困っています。 具体的には、7X+5Y=3という一次不定方程式がある際に、 7X+5Y=3 (5*1+2)X+5Y=3 5(X+Y)+2X=3 ここで、t=(X+Y)とする 5t+2X=3 X=(3-5t)*(1/2) となってしまい、分数になってしまいます。 こちらの方法でこの問題を解くにはどのようにしたらよいのかアドバイスいただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、整数解をもつ不定方程式
（問題） ７ｘ＋９ｙ－８ｚ＝－７((1)） 3x＋2y－6z＝－8((2)） （解答）(1)×３－(2)×４より、９ｘ＋１９ｙ＝１１((3)） ｘ＝－３、ｙ＝２は(3)の整数解の１つだから、(3)⇔９（ｘ＋３）＝－１９（ｙ－２） よって、ｋを整数として、ｘ＝－１９ｋ－３、ｙ＝９ｋ＋２（(4)） (4)を(1)に代入して、７（－１９ｋ－３）＋９（９ｋ＋２）－８ｚ＝－７⇔１３ｋ＋２ｚ＝１ ｋ＝１、ｚ＝－６はこの方程式の整数解の１つで、１３（ｋ－１）＝－２（ｚ＋６） よって、ｍが整数のとき、ｋ＝－２ｍ＋１、ｚ＝１３ｍ－６。 ｋ＝－２ｍ＋１を(4)に代入して、ｘ＝３８ｍ－２２、ｙ＝－１８ｍ＋１１、ｚ＝１３ｍ－６（ｍは整数） （疑問） この問題の方針は2つの方程式から1つの文字を消去した方程式（2文字）を作り、その方程式を満たす解を求め、その解を元の方程式の1つに代入し、3つの解を求める。というものです。 方程式(3)を満たすｘとｙはすべて、(1)と(2)を満たすのですよね？ にもかかわらず、(4)で、ｋ＝０としたｘ、ｙは(1)を満たしません。（ｚ＝１／２となって、整数にはならない） また、今回この問題の疑問について、他の参考書で調べたところ、次の事柄が載っておりました。 （参考書）加減法の基本原理 （１）F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０⇒aF(x,y)+bG(x,y)=0 （２）F(x,y)＝０かつG(x,y)=０⇔F(x,y)=0かつaF(x,y)+bG(x,y)=0 （１）について、なぜ逆（aF(x,y)+bG(x,y)=0⇒F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０）は成り立たないのでしょうか? aF(x,y)+bG(x,y)=0は点（Ｘ、Ｙ）を通る直線群を表しますから、この（Ｘ、Ｙ）はそれぞれa=1かつb=0,a=0かつb=1としたＦ(X,Y)=0とＧ（Ｘ、Ｙ）＝０を成り立たせるのではないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 超越関数Eiを使う方程式について
超越関数Eiを使う方程式について Ae610様やaquatarku5様の方法に従い考えてみました。 土、日とこの問題のことばかり考えています…助けて下さい。 x^2y''-5xy'+8y=e^x に対して、x=e^tとしてtによる微分方程式を求めると、 y' = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y'e^(-t) y''= dy'/dx = (dy'/dt)/(dx/dt) = e^(-2t){y''-y'} 与式に代入して、 e^(2t)e^(-2t){y''-y'}-5e^ty'e^(-t)+8y=e^e^t, y''-6y'+8y=e^e^t…(1) 特性方程式より、z^2-6z+8=0,z=4,2 (1)を同次式とした場合の解はy = C1e^(4t)+C2e^(2t) これに対し、y''-6y'+8y=e^e^tの解をy = Ae^(4t)+Be^(2t)として求める。…(2) ここでhttp://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/De-03m2.pdf http://okwave.jp/qa/q5832858.htmlを参考にします。 y'={A'e^(4t)+A4e^(4t)} + {B'e^(2t)+B2e^(2t)} A'e^(4t)+B'e^(2t)=0とすると…(3) y'=A4e^(4t)+B2e^(2t) y''={A'4e^(4t)+A16e^(4t)} + {B'2e^(2t)+B4e^(2t)} これらを(1)に代入して、A'4e^(4t)+B'2e^(2t)=e^e^tを得る…(4) (3)と(4)を連立させて、A'=e^e^t/2e^(4t) , B'=e^e^t/-2e^(2t) を得る。 A=∫ e^e^t/2e^(4t) dt、ここでe^t=Zとして、 ∫ e^z/(2z^4)・1/z dz = 1/2∫ e^z/z^5 dz 部分積分を反復して、-1/48{e^z(6/z^4+2/z^3+1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C1を得る。(Cは積分定数) zにe^tを代入してA=-1/48{e^e^t(6/(e^t)^4+2/(e^t)^3+1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C1…(5) B=∫ e^e^t/-2e^(2t) dt、ここでe^t=Zとして、 ∫ e^z/(-2z^2)・1/z dz = -1/2∫ e^z/z^3 dz 部分積分を反復して、1/4{e^z(1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C2を得る(Cは積分定数) zにe^tを代入してB=1/4{e^e^t(1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C2…(6) (2)(5)(6)よりy=Ae^(4t)+Be^(2t) = -1/48{e^e^t(6 + 2e^t + e^(2t) + e^(3t))-e^(4t)Ei(e^t)}＋1/4{e^e^t(1+e^t)-e^(2t)Ei(e^t)}+C1e^(4t)+C2e^(2t) <これが(1)の解> (1)の解に対してe^t=xとすると、x^2y''-5xy'+8y=e^xの解が求められる。 y = C1x^4+C2x^2-1/48{e^x(6 + 2x + x^2 + x^3)-x^4Ei(x)}+1/4{e^x(1+x)-x^2Ei(x)} 以上で如何でしょうか？ かなり長くなりましたので計算ミスが心配です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立微分方程式の問題
dx/(y^2-z^2)=dy/(y-2z)=dz/(z-2y) を解きなさいという問題です。 斉次のものであれば、代入するなり、行列を使うなりなんとか解くことができますが、 このような非斉次のものはどうすればいいでしょうか？ 分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授をお願いいたします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立方程式の問題です。
恥ずかしながら、連立方程式の解き方を忘れてしまいました・・・ 下記の問題の場合どのように解を導けばよろしいでしょうか？ ｘ+ｙ＝1100 (1) 2ｘ+ｚ＝1530 (2) ｘ+ｙ+ｚ＝1370 (3) また、(1)を(3)に代入する場合、途中式はどのようになるでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
できました！！ これでやり方がわかったので他の問題もできると思います。 ありがとうございました。