連立微分方程式の問題

質問

dx/(y^2-z^2)=dy/(y-2z)=dz/(z-2y)

を解きなさいという問題です。

斉次のものであれば、代入するなり、行列を使うなりなんとか解くことができますが、
このような非斉次のものはどうすればいいでしょうか？

分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授をお願いいたします！

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

あー。我ながら、これは酷い。
何でこんな答え書いたんだろう？
陳謝と訂正です。

dx/dt = uv,
du/dt = -u,
dv/dt = 3v
を解くのだから、
u = A (-1)^t,
v = B 3^t
の訳がない。
u = A e^(-t),
v = B e^(3t)
ですね。
No.2「お礼」欄にある通り。
大変失礼しました。

お礼

よくalice_44さんのお世話になっておりますし、
私の質問に答えていただくだけでも、十分感謝しております。
しかもいつもご丁寧ですし、本当にありがとうございます！

回答No.3

alice_44

ちなみに…
解が実三次空間の曲線になるのは、B = 0 の場合のみで、
そのとき、解は x = 定数,　y + z = 0 (ただし原点を含まない半直線)
というツマラナイものになります。
あまりに簡単な結果なので、何か簡単な解法がありそうですね。

u = y + z,
v = y - z と置いたらいいのかな？

お礼

ご解答ありがとうございます。

実は下記のサイトで同じ問題の回答を発見しました。
http://whs-math.net/math/sec3194.html

なんかalice_44さんと違う方法みたいです。
しかし、そのサイトに載ってる回答はよく理解できません。

回答No.2

alice_44

v = 転置(y,z) と置いて、dv/dt = Mv,
M =
　　1　　-2
　　-2　　1 .

M を対角化すると D = (P^-1)MP,
D =
　　3　　0
　　0　　-1 ,
P =
　　1　　1
　　-1　　1 .

これより、(d/dt)(P^-1)v = D(P^-1)v を解いて、
(P^-1)v = B(v_0),
B =
　　3^t　　0
　　0　　(-1)^t ,
v_0 は、初期条件を表す定ベクトル。

v_0 = 転置(A,B) と置くと
y = A(3^t) + B(-1)^t,
z = -A(3^t) + B(-1)^t.
これを dx/dt = y^2 - z^2 へ代入して、
dx/dt = 2AB(-3)^t.

積分して、
x = {2AB/log(-3)}(-3)^t + C,
C は、初期条件を表す定数です。

(-1)^t, (-3)^t, log(-3) 等は、
複素関数として理解してください。
(-1)^t = cos(πt) + i sin(πt),
(-3)^t = (3^t) (-1)^t,
log(-3) = log(3) + πi
です。

お礼

複素関数のあたりにはあんまり詳しくないので、自分なりに解いてみました。

まず、dy/(y-2z)=dz/(z-2y)=dtとおいて
dy/dt=y-2z
dz/dt=-2y+z

(y')　　 (y)　　　　　　　　(1 -2)
(z') =A(z) とおくと、　A=(-2 1)

Aの固有値を求めると λ=-1,3

λ=-1のときの固有ベクトルは(1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

λ=3のときの固有ベクトルは(-1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

したがって(一階線形微分方程式の公式より)

(y)　　　　　　　(1)　　　　　　　　　 (-1)
(z) =C1exp(-t)(1) + C2exp(3t)(1 )

よって
y=C1exp(-t) - C2exp(3t)
z=C1exp(-t) + C2exp(3t)

y,zをdx/dt=y^2-z^2に代入すると
dy/dx=-4C1C2exp(2t)

x=-2C1C2exp(2t) + C3

まとめると

x=-2C1C2exp(2t) + C3
y=C1exp(-t) - C2exp(3t)
z=C1exp(-t) + C2exp(3t)

とこのようなものが得られました。この解き方はあっていますか？

回答No.1

alice_44

dx/(y^2-z^2) = dy/(y-2z) = dz/(z-2y) = dt
と置くと、(d/dt)(x,y,z) = (y^2-z^2,y-2z,z-2y).

y,z について、斉一次線形微分方程式だから、
この部分だけを先に解いて、x は後で
dx/dt = y^2-z^2 から求める 手がありそうです。