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立方体の頂点を3色で塗る場合の数
立方体の8つの頂点を３色で色をつけるとき、回転、反転で同じになるものは同一視して、何通りあるか考えています。 向かいあう正方形の片方の塗り方、を考えると ４頂点が同じ色・・・３_C_１ ＝３通り ４頂点が２色で塗られて、３つが同じ色、２つづつ同じ色 ・・・等々考えていっているのですが、場合の数が多すぎてわけが分からなくなります。 何か整理した考え方をアドバイス頂けると幸いです。
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- nag0720
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１色や２色の場合は簡単なので、必ず３色を使うものとします。 色別の頂点の数の組み合わせは、 ６－１－１ ５－２－１ ４－３－１ ４－２－２ ３－３－２ の５通り。 立方体をABCD-EFGHとします。 ６－１－１の場合、 １－１の配置方法はA-B(隣り同士)、A-C(面の対角)、A-G(立方体の対角)の３通り 色の組み合わせは３通りなので、 ３×３＝９通り ５－２－１の場合、 ２－１の配置方法は、 ２頂点の配置がAB(隣り同士)のとき、AB-C、AB-Hの２通り ２頂点の配置がAC(面の対角)のとき、AC-B、AC-E、AC-Fの３通り ２頂点の配置がAG(立方体の対角)のとき、AG-Bの１通り 色の組み合わせは６通りなので、 ６×６＝３６通り 他も同様に、 ４－３－１の場合、 ３頂点の配置を決めてから、１頂点の位置を調べる。 ４－２－２の場合、 ２－２の４頂点の配置を決めてから、それを２－２に分ける組み合わせを調べる。 ３－３－２の場合、 ３－３の６頂点の配置を決めてから、それを３－３に分ける組み合わせを調べる。 というように考えてみてはどうですか。 とりあえず数えてみたら、重複や抜けがあるかも知れませんが、 ６－１－１が９通り ５－２－１が３６通り ４－３－１が６０通り ４－２－２が４８通り ３－３－２が５４通り となったので、計２０７通りとなりました。
お礼
なるほど！ 頂点の配色で場合分けですか。 でも、この方法だと回転で同じになるものとか含まれていないですか？
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