図形の証明

質問

以下の2つのことを、複素数を用いて示せという問題なのですが、どのようにして示せばいいのかわかりません。　　どなたか教えてください。

　1)平行四辺形の対角線は互いに二等分することを示せ。

　2)ひし形の対角線は互いに直交することをしめせ。

　　2)は複素平面上でひし形を表し、その2本の対角線の傾きの積が-1になることを示せばよいのでしょうか？

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

１）平行四辺形ABCDで，A(α )， B(β )， C(γ )， D(δ )　とする。
平行四辺形になる条件は，　β－α＝γ－δ
ACの中点　（α＋γ）／２　，　ＢＤの中点　（β＋δ）／２
（α＋γ）／２　－（β＋δ）／２＝（α－β）／２　＋（γ－δ）＝０
より。

２）A(α )， B(β )， C(－α )， D(－β )　とすると四角形ABCDは平行四辺形で，対角線の交点は原点。
ひし形の条件，｜α－β｜＝｜α＋β｜　
このとき，（α－β）（＊α－＊β）＝（α＋β）（＊α＋＊β）　より　（＊α等はαの共役複素数の意味）
α＊β＋＊αβ＝０
（α／β）（＊β／＊α）＝－１
arg（α／β）+arg ＊（β／α）＝arg (-1)
arg（α／β）=arg ＊（β／α）なので　（＃）
２arg（α／β）＝π
arg（α／β）＝π／２
より。

（＃）arg（＊β／＊α）＝arg（＊β）－arg（＊α）＝２π－arg（β）－（２π－arg（α））
＝arg（α）－arg（β）＝arg（α／β）

分かりにくい表記ですみません。

回答No.1

alice_44

(1) ４頂点の位置を複素平面上の値で a,b,c,d
と置くと、平行四辺形である条件は a-b=d-c。
一組の対辺が平行かつ等長なことを示しています。
これを使って、対角線の中点が共通であることを
計算するだけです。
複素数も、実二次ベクトルであることに
変わりはありませんから。

(2) 直交する条件を成分で扱ったのでは、
複素数を使ったことにならないような気がします。
90 度回転が複素数の √(-1) 倍であることから、
(a-c)/(b-d) が純虚数であることを示しては
どうでしょう。２乗して負になることを計算
すればよいと思います。