数学記号について

質問

数学記号について

a⊂A
a⊆A
a∈A
の違いは何ですか？

回答No.5

Caper · ベストアンサー

● a ∈ A について

　 a ∈ A は、「 a は 集合 A の要素である 」という意味です。

　 例えば、集合 A が {1, 2, 3} であり、a が 2 であるとします。言い換えれば、A = {1, 2, 3} であり、a = 2 であるとします。このとき、a は 集合 A の要素になっているので、a ∈ A と書くことができます。
　 ただし、集合 A が {1, 2, 3} であり、a が {2} という集合であるとする場合、言い換えれば、A = {1, 2, 3} であり、a = {2} である場合は、a ∈ A と書くことはできません。その理由は、a は 集合 A の要素ではなく、集合 A に "含まれる集合" であるからです (*)。

　 a ∈ A の日本語におけるそのほかの表現のしかたとしては、「 a は 集合 A に属する 」「 a は 集合 A に含まれる 」「 集合 A は a を含む 」などが挙げられます。

● そのほかの 2 題 について

　「 集合 a は 集合 A の部分集合である 」とは、「 集合 a のすべての要素が、集合 A の要素でもある 」という意味です。

　 例えば、a = {1, 2}, A = {1, 2, 3} であるときには、集合 a は 集合 A の部分集合であると言うことができます。また、a = {1, 2, 3}, A = {1, 2, 3} であるときにも、すなわち a = A であるときにも、集合 a は 集合 A の部分集合であると言うことができます。

　「 集合 a は 集合 A の真部分集合である 」とは、「 集合 a が 集合 A の部分集合であって、a と A は等しくない 」という意味です。

　 例えば、a = {1, 2}, A = {1, 2, 3} であるときには、集合 a は 集合 A の真部分集合であると言うことができます。ところが、a = {1, 2, 3}, A = {1, 2, 3} であるときには、すなわち a = A であるときには、集合 a は 集合 A の真部分集合であると言うことはできません。

　 ⊂ ⊆ などの記号の流儀については、ANo.1 において chie65535 さん が提示なさいました 2つ目 のリンク先における「 記法に関する注意 」内の表をごらんください。
　 ⊆ に部分集合を割り当て、⊂ に真部分集合を割り当てるとい流儀は、古いものかもしれません。

　「 集合 a は 集合 A の部分集合である 」のそのほかの表現のしかたとしては、「 集合 a は 集合 A に含まれる 」「 集合 A は 集合 a を含む 」などが挙げられます。

● (*)

　 集合 A が「 集合の集合 」である場合は、集合 A の要素は集合です。ご注意ください。「 集合の集合 」には、「 集合系 」もしくは「 集合族 」という呼び名があります ( 厳密には、「 集合系 」と「 集合族 」とは意味が異なるようです )。

● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
　 また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。

お礼

回答有難うございました。
また、一番納得のいく回答でしたのでBAに選ばせていただきます。
数学の参考書を見た時に、∈を見て何だこれ？と思い意味が分からず参考書を閉じてしまいましたが、また再び参考書に目を通して見たいと思います。有難うございました。