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数学の講師仲間である議論,分母0の反例
こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。 ----------- x>yならばx/y>1 が偽であることを示せ ----------- これを示すのに、 反例:x=1、y=0 というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。 ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。 ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。 どうなのでしょうか。
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お礼
感謝いたします。しかし恐れ入りますが、極限の定義の論理式 ∀ε((ε∈R ∧ ε>0) ⇒ ∃δ(δ∈R ∧ δ>0 ∧ ∀x(x∈R ⇒ ((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ)⇒|f(x)-b|<ε)))) はちょっと違っているのではないでしょうか。 ∀ε((ε∈R ∧ ε>0) ⇒ ∃δ((δ∈R ∧ δ>0) ⇒ ∀x(x∈R ⇒ ((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ)⇒|f(x)-b|<ε)))) が正しいのではないでしょうか。なぜなら、僕の論理式で否定(極限が収束しない)を考えると次のようにうまくいきそうだからです。 ∃ε((ε∈R ∧ ε>0) ∧ ¬∃δ((δ∈R ∧ δ>0) ⇒ ∀x(x∈R ⇒ ((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ)⇒|f(x)-b|<ε)))) ∃ε((ε∈R ∧ ε>0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ>0) ∧ ¬∀x(x∈R ⇒ ((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ)⇒|f(x)-b|<ε)))) ∃ε((ε∈R ∧ ε>0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ>0) ∧ ∃x(x∈R ∧ ¬((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ)⇒|f(x)-b|<ε)))) ∃ε((ε∈R ∧ ε>0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ>0) ∧ ∃x(x∈R ∧ ((0<|x-a| ∧ |x-a|<δ) ∧ |f(x)-b|≧ε)))) 僕は、論理式に分数表記があるときの解釈の実例をネットの論文から探そうとして、極限のεδ論法を中心に検索したのですが、stomachmanさんのように記述しているのは見当たりませんでした。これは、大学で極限の定義をεδ論法で厳密に習うといわれながら、実は、そこでの記述もあいまいさを伴っていることに気づきました。 僕は昨日まで http://ja.wikipedia.org/wiki/イプシロン-デルタ論法 の表記こそが厳密だと勘違いしておりました。 そこでは、「関数 f(x) に対して極限の式lim[x→a]f(x)=b」と書かれていたために、僕は、 lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x) =0 と計算してしまい、勘違いの結果となりましたが、English版だと、 Let ƒ be a function defined on an open interval containing c (except possibly at c) and let L be a real number. と前置きが書いてありました。つまりstomachmanさんもおっしゃるように、 lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x)は、関数が0を含むどんな開集合(0は除く)でも定義されないので、極限は考えない。 表記のあいまいさは、勘違い、すれ違い、混乱を誘発することをつくづく実感いたしました。反省いたします。 今回の質問の最終結論は、 >「自然言語で一見きちんと書けたように見える文章でも、ほじくってみると結構危ういことがあるよ」ということです とおっしゃる通りだと思います。